Квадратична функция. Визуално ръководство (2020). Конструиране на парабола в Microsoft Excel Как да начертаете парабола с помощта на уравнение

Предлагам на останалите читатели значително да разширят училищните си знания за параболите и хиперболите. Хипербола и парабола - прости ли са? ...Нямам търпение =)

Хипербола и нейното канонично уравнение

Общата структура на представянето на материала ще прилича на предишния параграф. Нека започнем с общата концепция за хипербола и задачата за нейното конструиране.

Каноничното уравнение на хипербола има формата , където са положителни реални числа. Моля, имайте предвид, че за разлика от елипса, условието не е наложено тук, тоест стойността на „a“ може да бъде по-малка от стойността на „be“.

Трябва да кажа, съвсем неочаквано... уравнението на "училищната" хипербола дори не прилича много на каноничната нотация. Но тази загадка все още трябва да ни чака, но засега нека се почешем по главите и да си спомним какви характерни черти има въпросната крива? Нека го разпространим на екрана на нашето въображение графика на функция ….

Хиперболата има два симетрични клона.

Не е лош напредък! Всяка хипербола има тези свойства и сега ще погледнем с искрено възхищение към деколтето на тази линия:

Пример 4

Постройте хиперболата, дадена от уравнението

Решение: в първата стъпка привеждаме това уравнение в канонична форма. Моля, запомнете стандартната процедура. Отдясно трябва да получите „едно“, така че разделяме двете страни на оригиналното уравнение на 20:

Тук можете да намалите и двете фракции, но е по-оптимално да направите всяка от тях триетажна:

И едва след това извършете намаляването:

Изберете квадратите в знаменателите:

Защо е по-добре да се извършват трансформации по този начин? В крайна сметка фракциите от лявата страна могат веднага да бъдат намалени и получени. Факт е, че в разглеждания пример имахме малко късмет: числото 20 се дели както на 4, така и на 5. В общия случай такова число не работи. Помислете, например, за уравнението. Тук с делимостта всичко е по-тъжно и без триетажни фракциивече не е възможно:

И така, нека използваме плода на нашия труд - каноничното уравнение:

Как да построим хипербола?

Има два подхода за изграждане на хипербола - геометричен и алгебричен.
От практическа гледна точка рисуването с пергел... дори бих казал утопично, така че е много по-изгодно отново да използвате прости изчисления, за да помогнете.

Препоръчително е да се придържате към следния алгоритъм, първо готовия чертеж, след това коментарите:

В практиката често се среща комбинация от завъртане на произволен ъгъл и паралелна транслация на хиперболата. Тази ситуация се обсъжда в клас Намаляване на уравнението на правата от 2-ри ред до канонична форма.

Парабола и нейното канонично уравнение

Готово е! Тя е единствената. Готов да разкрие много тайни. Каноничното уравнение на парабола има формата , където е реално число. Лесно се забелязва, че в стандартната си позиция параболата „лежи настрани“, а върхът й е в началото. В този случай функцията определя горния клон на този ред, а функцията – долния клон. Очевидно е, че параболата е симетрична спрямо оста. Всъщност, защо да се притеснявате:

Пример 6

Конструирайте парабола

Решение: върхът е известен, нека намерим допълнителни точки. Уравнението определя горната дъга на параболата, уравнението определя долната дъга.

За да съкратим записа на изчисленията, ще извършим изчисленията „с една четка“:

За компактен запис резултатите могат да бъдат обобщени в таблица.

Преди да изпълним елементарен чертеж точка по точка, нека формулираме строг

дефиниция на парабола:

Парабола е набор от всички точки в равнината, които са на еднакво разстояние от дадена точка и дадена права, която не минава през тази точка.

Точката се нарича фокуспараболи, права линия - директорка (изписва се с едно "ес")параболи. Константата "pe" на каноничното уравнение се нарича фокусен параметър, което е равно на разстоянието от фокуса до директрисата. В такъв случай . В този случай фокусът има координати, а директрисата е дадена от уравнението.
В нашия пример:

Дефиницията на парабола е дори по-лесна за разбиране от дефинициите на елипса и хипербола. За всяка точка на парабола дължината на сегмента (разстоянието от фокуса до точката) е равна на дължината на перпендикуляра (разстоянието от точката до директрисата):

Честито! Много от вас направиха истинско откритие днес. Оказва се, че хиперболата и параболата изобщо не са графики на „обикновени“ функции, а имат ясно изразен геометричен произход.

Очевидно, когато фокусният параметър се увеличава, клоните на графиката ще се „повдигат“ нагоре и надолу, приближавайки се безкрайно близо до оста. Тъй като стойността на „pe“ намалява, те ще започнат да се компресират и разтягат по оста

Ексцентричността на всяка парабола е равна на единица:

Въртене и паралелна транслация на парабола

Параболата е една от най-често срещаните линии в математиката и ще трябва да я изграждате много често. Затова, моля, обърнете специално внимание на последния параграф на урока, където ще обсъдя типичните варианти за местоположението на тази крива.

! Забележка : както в случаите с предишните криви, по-правилно е да се говори за въртене и паралелно преместване на координатни оси, но авторът ще се ограничи до опростена версия на представянето, така че читателят да има основно разбиране за тези трансформации.

Функция за изграждане

Предлагаме на вашето внимание услуга за конструиране на графики на функции онлайн, всички права върху които принадлежат на компанията Десмос. Използвайте лявата колона, за да въведете функции. Можете да въведете ръчно или с помощта на виртуалната клавиатура в долната част на прозореца. За да увеличите прозореца с графиката, можете да скриете както лявата колона, така и виртуалната клавиатура.

Предимства на онлайн графики

• Визуално показване на въведените функции
• Изграждане на много сложни графики
• Конструиране на имплицитно зададени графики (например елипса x^2/9+y^2/16=1)
• Възможност за запазване на диаграми и получаване на връзка към тях, която става достъпна за всички в Интернет
• Контрол на мащаба, цвета на линията
• Възможност за начертаване на графики по точки, като се използват константи
• Изграждане на графики на няколко функции едновременно
• График в полярни координати (използвайте r и θ(\theta))

С нас е лесно да създавате диаграми с различна сложност онлайн. Строителството се извършва моментално. Услугата е търсена за намиране на пресечни точки на функции, за изобразяване на графики за по-нататъшното им преместване в документ на Word като илюстрации при решаване на проблеми и за анализ на поведенческите характеристики на функционалните графики. Оптималният браузър за работа с диаграми на тази страница на уебсайта е Google Chrome. Правилната работа не е гарантирана при използване на други браузъри.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Вероятно всеки знае какво е парабола. Но ще разгледаме как да го използваме правилно и компетентно при решаване на различни практически проблеми по-долу.

Първо, нека очертаем основните понятия, които алгебрата и геометрията дават на този термин. Нека разгледаме всички възможни типове на тази графика.

Нека да разберем всички основни характеристики на тази функция. Нека разберем основите на конструкцията на кривите (геометрия). Нека научим как да намираме горната и други основни стойности на графика от този тип.

Нека разберем: как правилно да конструираме желаната крива с помощта на уравнението, на какво трябва да обърнете внимание. Нека да разгледаме основното практическо приложение на тази уникална ценност в човешкия живот.

Какво е парабола и как изглежда?

Алгебра: Този термин се отнася до графиката на квадратична функция.

Геометрия: това е крива от втори ред, която има редица специфични характеристики:

Уравнение на канонична парабола

Фигурата показва правоъгълна координатна система (XOY), екстремум, посоката на клоновете на чертежа на функцията по абсцисната ос.

Каноничното уравнение е:

y 2 = 2 * p * x,

където коефициентът p е фокусният параметър на параболата (AF).

В алгебрата ще бъде написано по различен начин:

y = a x 2 + b x + c (разпознаваем модел: y = x 2).

Свойства и графика на квадратична функция

Функцията има ос на симетрия и център (екстремум). Домейнът на дефиниция е всички стойности на абсцисната ос.

Диапазонът на стойностите на функцията – (-∞, M) или (M, +∞) зависи от посоката на клоновете на кривата. Параметърът M тук означава стойността на функцията в горната част на реда.

Как да определите накъде са насочени клоновете на парабола

За да намерите посоката на крива от този тип от израз, трябва да определите знака пред първия параметър на алгебричния израз. Ако a ˃ 0, тогава те са насочени нагоре. Ако е обратното, надолу.

Как да намерите върха на парабола с помощта на формулата

Намирането на екстремума е основната стъпка в решаването на много практически проблеми. Разбира се, можете да отворите специални онлайн калкулатори, но е по-добре да можете да го направите сами.

Как да го определим? Има специална формула. Когато b не е равно на 0, трябва да потърсим координатите на тази точка.

Формули за намиране на върха:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Пример.

Има функция y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Нека намерим върховете на тази функция.

За ред като този:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Получаваме координатите на върха (-2, -41).

Преместване на парабола

Класическият случай е, когато в квадратична функция y = a x 2 + b x + c вторият и третият параметър са равни на 0, а = 1 - върхът е в точката (0; 0).

Движението по абсцисната или ординатната ос се дължи съответно на промени в параметрите b и c.Линията на равнината ще бъде изместена точно с броя единици, равен на стойността на параметъра.

Пример.

Имаме: b = 2, c = 3.

Това означава, че класическата форма на кривата ще се измести с 2 единични сегмента по абсцисната ос и с 3 по ординатната ос.

Как да изградим парабола с помощта на квадратно уравнение

За учениците е важно да се научат как правилно да начертаят парабола, използвайки дадени параметри.

Като анализирате изразите и уравненията, можете да видите следното:

1. Точката на пресичане на желаната линия с ординатния вектор ще има стойност, равна на c.
2. Всички точки на графиката (по оста x) ще бъдат симетрични спрямо главния екстремум на функцията.

В допълнение, точките на пресичане с OX могат да бъдат намерени чрез познаване на дискриминанта (D) на такава функция:

D = (b 2 - 4 * a * c).

За да направите това, трябва да приравните израза към нула.

Наличието на корени на парабола зависи от резултата:

• D ˃ 0, тогава x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, тогава x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, то няма пресечни точки с вектора OX.

Получаваме алгоритъма за конструиране на парабола:

• определете посоката на клоните;
• намиране на координатите на върха;
• намерете пресечната точка с ординатната ос;
• намерете пресечната точка с оста x.

Пример 1.

Дадена е функцията y = x 2 - 5 * x + 4. Необходимо е да се изгради парабола. Ние следваме алгоритъма:

1. a = 1, следователно клоните са насочени нагоре;
2. екстремни координати: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. пресича се с ординатната ос при стойност y = 4;
4. нека намерим дискриминанта: D = 25 - 16 = 9;
5. търся корени:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Пример 2.

За функцията y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 трябва да построите парабола. Действаме по зададения алгоритъм:

1. a = 3, следователно клоните са насочени нагоре;
2. екстремни координати: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. ще се пресича с оста y при стойност y = -1;
4. нека намерим дискриминанта: D = 4 + 12 = 16. Така че корените са:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Използвайки получените точки, можете да построите парабола.

Директриса, ексцентричност, фокус на парабола

Въз основа на каноничното уравнение, фокусът на F има координати (p/2, 0).

Правата AB е директриса (вид хорда на парабола с определена дължина). Неговото уравнение е: x = -p/2.

Ексцентричност (константа) = 1.

Заключение

Разгледахме една тема, която учениците изучават в гимназията. Сега знаете, като разгледате квадратичната функция на парабола, как да намерите нейния връх, в каква посока ще бъдат насочени клоните, дали има изместване по осите и, като имате алгоритъм за конструиране, можете да начертаете нейната графика.

Как да изградим парабола? Има няколко начина за начертаване на графика на квадратична функция. Всеки от тях има своите плюсове и минуси. Нека разгледаме два начина.

Нека започнем с начертаване на квадратна функция от формата y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Начертайте графика на функцията y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 е квадратна функция. Графиката е парабола с разклонения нагоре. Координати на върха на парабола

От върха (-1;-4) изграждаме графика на параболата y=x² (като от началото на координатите. Вместо (0;0) - връх (-1;-4). От (-1; -4) отиваме надясно с 1 единица и нагоре с 1 единица, след това наляво с 1 и нагоре с 1; по-нататък: 2 - надясно, 4 - нагоре, 2 - наляво, 4 - нагоре; 3 - надясно, 9 - нагоре, 3 - наляво, 9 - нагоре.Ако тези 7 точки не са достатъчни, тогава 4 надясно, 16 нагоре и т.н.).

Графиката на квадратната функция y= -x²+bx+c е парабола, чиито клонове са насочени надолу. За да построим графика, търсим координатите на върха и от тях построяваме парабола y= -x².

Пример.

Начертайте графика на функцията y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 е квадратна функция. Графиката е парабола с клонове надолу. Координати на върха на парабола

Отгоре изграждаме парабола y= -x² (1 - надясно, 1 - надолу; 1 - наляво, 1 - надолу; 2 - надясно, 4 - надолу; 2 - наляво, 4 - надолу и т.н.):

Този метод ви позволява бързо да изградите парабола и не създава затруднения, ако знаете как да начертаете графики на функциите y=x² и y= -x². Недостатък: ако координатите на върха са дробни числа, не е много удобно да се изгради графика. Ако трябва да знаете точните стойности на точките на пресичане на графиката с оста Ox, ще трябва допълнително да решите уравнението x²+bx+c=0 (или -x²+bx+c=0), дори ако тези точки могат да бъдат определени директно от чертежа.

Друг начин за конструиране на парабола е чрез точки, т.е. можете да намерите няколко точки на графиката и да начертаете парабола през тях (като се има предвид, че правата x=xₒ е нейната ос на симетрия). Обикновено за това те вземат върха на параболата, точките на пресичане на графиката с координатните оси и 1-2 допълнителни точки.

Начертайте графика на функцията y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 е квадратна функция. Графиката е парабола с разклонения нагоре. Координати на върха на парабола

това означава, че върхът на параболата е точката (-2,5; -2,25).

Търсят . В точката на пресичане с оста Ox y=0: x²+5x+4=0. Корените на квадратното уравнение x1=-1, x2=-4, т.е. получихме две точки на графиката (-1; 0) и (-4; 0).

В точката на пресичане на графиката с оста Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Разбрахме точката (0; 4).

За да изясните графиката, можете да намерите допълнителна точка. Да вземем x=1, тогава y=1²+5∙1+4=10, тоест друга точка на графиката е (1; 10). Отбелязваме тези точки на координатната равнина. Като вземем предвид симетрията на параболата спрямо линията, минаваща през нейния връх, маркираме още две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и начертаваме парабола през тях:

Начертайте графика на функцията y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x е квадратна функция. Графиката е парабола с клонове надолу. Координати на върха на парабола

Върхът (-1,5; 2,25) е първата точка на параболата.

В точките на пресичане на графиката с оста x y=0, тоест решаваме уравнението -x²-3x=0. Корените му са x=0 и x=-3, тоест (0;0) и (-3;0) - още две точки на графиката. Точката (o; 0) е и пресечната точка на параболата с ординатната ос.

При x=1 y=-1²-3∙1=-4, тоест (1; -4) е допълнителна точка за чертане.

Конструирането на парабола от точки е по-трудоемък метод в сравнение с първия. Ако параболата не пресича оста Ox, ще са необходими повече допълнителни точки.

Преди да продължим да конструираме графики на квадратични функции от формата y=ax²+bx+c, нека разгледаме изграждането на графики на функции с помощта на геометрични трансформации. Също така е най-удобно да се построят графики на функции от вида y=x²+c, като се използва една от тези трансформации - паралелна транслация.

Категория: |