Μια κατά προσέγγιση μέθοδος για την αξιολόγηση της μεταβλητότητας μιας σειράς διακύμανσης είναι ο προσδιορισμός του ορίου και του πλάτους, αλλά οι τιμές της παραλλαγής εντός της σειράς δεν λαμβάνονται υπόψη. Το κύριο γενικά αποδεκτό μέτρο της μεταβλητότητας ενός ποσοτικού χαρακτηριστικού μέσα σε μια σειρά παραλλαγών είναι τυπική απόκλιση (σ - σίγμα). Όσο μεγαλύτερη είναι η τυπική απόκλιση, τόσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός διακύμανσης αυτής της σειράς.

Η μέθοδος για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

1. Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο (Μ).

2. Προσδιορίστε τις αποκλίσεις των επιμέρους επιλογών από τον αριθμητικό μέσο όρο (d=V-M). Στις ιατρικές στατιστικές, οι αποκλίσεις από τον μέσο όρο ορίζονται ως d (απόκλιση). Το άθροισμα όλων των αποκλίσεων είναι μηδέν.

3. Τετράγωνο κάθε απόκλισης d 2.

4. Πολλαπλασιάστε τα τετράγωνα των αποκλίσεων με τις αντίστοιχες συχνότητες d 2 *p.

5. Βρείτε το άθροισμα των γινομένων å(d 2 *p)

6. Υπολογίστε την τυπική απόκλιση χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Όταν το n είναι μεγαλύτερο από 30 ή όταν το n είναι μικρότερο ή ίσο με 30, όπου n είναι ο αριθμός όλων των επιλογών.

Τιμή τυπικής απόκλισης:

1. Η τυπική απόκλιση χαρακτηρίζει την εξάπλωση της παραλλαγής σε σχέση με τη μέση τιμή (δηλαδή, τη μεταβλητότητα της σειράς διακύμανσης). Όσο μεγαλύτερο είναι το σίγμα, τόσο υψηλότερος είναι ο βαθμός ποικιλομορφίας αυτής της σειράς.

2. Η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται για μια συγκριτική αξιολόγηση του βαθμού αντιστοιχίας του αριθμητικού μέσου όρου με τη σειρά διακύμανσης για την οποία υπολογίστηκε.

Οι παραλλαγές των φαινομένων μάζας υπακούουν στο νόμο της κανονικής κατανομής. Η καμπύλη που αντιπροσωπεύει αυτήν την κατανομή μοιάζει με μια ομαλή συμμετρική καμπύλη σε σχήμα καμπάνας (καμπύλη Gauss). Σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων, σε φαινόμενα που υπακούουν στο νόμο της κανονικής κατανομής, υπάρχει μια αυστηρή μαθηματική σχέση μεταξύ των τιμών του αριθμητικού μέσου όρου και της τυπικής απόκλισης. Η θεωρητική κατανομή μιας παραλλαγής σε μια ομοιογενή σειρά παραλλαγής υπακούει στον κανόνα των τριών σιγμάτων.

Εάν σε ένα σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων οι τιμές ενός ποσοτικού χαρακτηριστικού (παραλλαγές) απεικονίζονται στον άξονα της τετμημένης και η συχνότητα εμφάνισης μιας παραλλαγής σε μια σειρά παραλλαγής απεικονίζεται στον άξονα τεταγμένων, τότε οι παραλλαγές με μεγαλύτερες και μικρότερες Οι τιμές βρίσκονται ομοιόμορφα στις πλευρές του αριθμητικού μέσου όρου.

Έχει διαπιστωθεί ότι με κανονική κατανομή του χαρακτηριστικού:

Το 68,3% των τιμών της παραλλαγής είναι εντός M±1s

Το 95,5% των τιμών της παραλλαγής είναι εντός M±2s

Το 99,7% των τιμών της παραλλαγής είναι εντός M±3s

3. Η τυπική απόκλιση σάς επιτρέπει να καθορίσετε κανονικές τιμές για κλινικές και βιολογικές παραμέτρους. Στην ιατρική, το διάστημα M±1s λαμβάνεται συνήθως ως το φυσιολογικό εύρος για το φαινόμενο που μελετάται. Η απόκλιση της εκτιμώμενης τιμής από τον αριθμητικό μέσο όρο κατά περισσότερο από 1 s υποδηλώνει απόκλιση της μελετημένης παραμέτρου από τον κανόνα.

4. Στην ιατρική, ο κανόνας τριών σίγμα χρησιμοποιείται στην παιδιατρική για την ατομική αξιολόγηση του επιπέδου σωματικής ανάπτυξης των παιδιών (μέθοδος απόκλισης σίγμα), για την ανάπτυξη προτύπων για τα παιδικά ρούχα

5. Η τυπική απόκλιση είναι απαραίτητη για τον χαρακτηρισμό του βαθμού ποικιλομορφίας του χαρακτηριστικού που μελετάται και για τον υπολογισμό του σφάλματος του αριθμητικού μέσου όρου.

Η τιμή της τυπικής απόκλισης χρησιμοποιείται συνήθως για τη σύγκριση της μεταβλητότητας σειρών του ίδιου τύπου. Εάν συγκριθούν δύο σειρές με διαφορετικά χαρακτηριστικά (ύψος και βάρος, μέση διάρκεια νοσοκομειακής περίθαλψης και νοσοκομειακή θνησιμότητα κ.λπ.), τότε είναι αδύνατη η άμεση σύγκριση μεγεθών σίγμα , επειδή Η τυπική απόκλιση είναι μια ονομαστική τιμή που εκφράζεται σε απόλυτους αριθμούς. Σε αυτές τις περιπτώσεις, χρησιμοποιήστε συντελεστής διακύμανσης (Cv), που είναι μια σχετική τιμή: η ποσοστιαία αναλογία της τυπικής απόκλισης προς τον αριθμητικό μέσο όρο.

Ο συντελεστής διακύμανσης υπολογίζεται με τον τύπο:

Όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής διακύμανσης , τόσο μεγαλύτερη είναι η μεταβλητότητα αυτής της σειράς. Πιστεύεται ότι ένας συντελεστής διακύμανσης άνω του 30% υποδηλώνει την ποιοτική ετερογένεια του πληθυσμού.

Στον στατιστικό έλεγχο υποθέσεων, κατά τη μέτρηση μιας γραμμικής σχέσης μεταξύ τυχαίων μεταβλητών.

Τυπική απόκλιση:

Τυπική απόκλιση(εκτίμηση της τυπικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής Floor, των τοίχων γύρω μας και της οροφής, Χσε σχέση με τη μαθηματική του προσδοκία που βασίζεται σε μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσής του):

που είναι η διασπορά? - Το πάτωμα, οι τοίχοι γύρω μας και η οροφή, Εγώτο στοιχείο της επιλογής. - το μέγεθος του δείγματος; - αριθμητικός μέσος όρος του δείγματος:

Πρέπει να σημειωθεί ότι και οι δύο εκτιμήσεις είναι μεροληπτικές. Στη γενική περίπτωση, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια αμερόληπτη εκτίμηση. Ωστόσο, η εκτίμηση που βασίζεται στην εκτίμηση της αμερόληπτης διακύμανσης είναι συνεπής.

Κανόνας τριών σίγμα

Κανόνας τριών σίγμα() - σχεδόν όλες οι τιμές μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκονται στο διάστημα. Πιο αυστηρά - με τουλάχιστον 99,7% εμπιστοσύνη, η τιμή μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκεται στο καθορισμένο διάστημα (με την προϋπόθεση ότι η τιμή είναι αληθής και δεν λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της επεξεργασίας του δείγματος).

Εάν η πραγματική τιμή είναι άγνωστη, τότε δεν πρέπει να χρησιμοποιήσουμε, αλλά το πάτωμα, τους τοίχους γύρω μας και την οροφή, μικρό. Έτσι, ο κανόνας των τριών σίγμα μετατρέπεται στον κανόνα των τριών ορόφων, των τοίχων γύρω μας και της οροφής, μικρό .

Ερμηνεία της τιμής τυπικής απόκλισης

Μια μεγάλη τιμή της τυπικής απόκλισης δείχνει μια μεγάλη διασπορά τιμών στο παρουσιαζόμενο σύνολο με τη μέση τιμή του συνόλου. μια μικρή τιμή, κατά συνέπεια, δείχνει ότι οι τιμές στο σύνολο ομαδοποιούνται γύρω από τη μεσαία τιμή.

Για παράδειγμα, έχουμε τρία σύνολα αριθμών: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) και (6, 6, 8, 8). Και τα τρία σύνολα έχουν μέσες τιμές ίσες με 7 και τυπικές αποκλίσεις, αντίστοιχα, ίσες με 7, 5 και 1. Το τελευταίο σύνολο έχει μια μικρή τυπική απόκλιση, καθώς οι τιμές στο σύνολο ομαδοποιούνται γύρω από τη μέση τιμή. το πρώτο σετ έχει τη μεγαλύτερη τιμή τυπικής απόκλισης - οι τιμές εντός του συνόλου αποκλίνουν πολύ από τη μέση τιμή.

Με μια γενική έννοια, η τυπική απόκλιση μπορεί να θεωρηθεί ως μέτρο αβεβαιότητας. Για παράδειγμα, στη φυσική, η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του σφάλματος μιας σειράς διαδοχικών μετρήσεων κάποιας ποσότητας. Αυτή η τιμή είναι πολύ σημαντική για τον προσδιορισμό της αληθοφάνειας του υπό μελέτη φαινομένου σε σύγκριση με την τιμή που προβλέπεται από τη θεωρία: εάν η μέση τιμή των μετρήσεων διαφέρει πολύ από τις τιμές που προβλέπονται από τη θεωρία (μεγάλη τυπική απόκλιση), τότε οι λαμβανόμενες τιμές ή η μέθοδος απόκτησής τους θα πρέπει να επανελεγχθούν.

Πρακτική χρήση

Στην πράξη, η τυπική απόκλιση σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε πόσο μπορεί να διαφέρουν οι τιμές σε ένα σύνολο από τη μέση τιμή.

Κλίμα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο πόλεις με την ίδια μέση μέγιστη ημερήσια θερμοκρασία, αλλά η μία βρίσκεται στην ακτή και η άλλη στην ενδοχώρα. Είναι γνωστό ότι οι πόλεις που βρίσκονται στην ακτή έχουν πολλές διαφορετικές μέγιστες θερμοκρασίες κατά τη διάρκεια της ημέρας που είναι χαμηλότερες από τις πόλεις που βρίσκονται στην ενδοχώρα. Επομένως, η τυπική απόκλιση των μέγιστων ημερήσιων θερμοκρασιών για μια παράκτια πόλη θα είναι μικρότερη από ό,τι για τη δεύτερη πόλη, παρά το γεγονός ότι η μέση τιμή αυτής της τιμής είναι η ίδια, πράγμα που στην πράξη σημαίνει ότι η πιθανότητα η μέγιστη θερμοκρασία του αέρα οποιαδήποτε δεδομένη ημέρα του έτους θα είναι υψηλότερη διαφέρει από τη μέση τιμή, υψηλότερη για μια πόλη που βρίσκεται στην ενδοχώρα.

Αθλημα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν αρκετές ποδοσφαιρικές ομάδες που βαθμολογούνται με βάση ορισμένες παραμέτρους, για παράδειγμα, τον αριθμό των γκολ που σημειώθηκαν και δέχθηκαν, τις ευκαιρίες για γκολ κ.λπ. Το πιο πιθανό είναι ότι η καλύτερη ομάδα αυτού του ομίλου θα έχει καλύτερες τιμές σε περισσότερες παραμέτρους. Όσο μικρότερη είναι η τυπική απόκλιση της ομάδας για κάθε μία από τις παραμέτρους που παρουσιάζονται, τόσο πιο προβλέψιμο είναι το αποτέλεσμα της ομάδας. Από την άλλη πλευρά, μια ομάδα με μεγάλη τυπική απόκλιση είναι δύσκολο να προβλέψει το αποτέλεσμα, το οποίο με τη σειρά του εξηγείται από μια ανισορροπία, για παράδειγμα, μια δυνατή άμυνα αλλά μια αδύναμη επίθεση.

Η χρήση της τυπικής απόκλισης των παραμέτρων της ομάδας καθιστά δυνατή, στον ένα ή τον άλλο βαθμό, την πρόβλεψη του αποτελέσματος ενός αγώνα μεταξύ δύο ομάδων, αξιολογώντας τα δυνατά και τα αδύνατα σημεία των ομάδων και επομένως τις επιλεγμένες μεθόδους μάχης.

Τεχνική ανάλυση

δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Αυτό το άρθρο προτείνεται για διαγραφή. Μια εξήγηση των λόγων και η αντίστοιχη συζήτηση μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Wikipedia: Θα διαγραφεί/17 Δεκεμβρίου 2012. Ενώ η διαδικασία συζήτησης δεν έχει ολοκληρωθεί, μπορείτε να προσπαθήσετε να βελτιώσετε το άρθρο, αλλά θα πρέπει να αποφύγετε να μετονομάσετε ή να διαγράψετε περιεχόμενο, δείτε τον περαιτέρω οδηγό ενεργειών για περισσότερες λεπτομέρειες. Μην αφαιρέσετε το σημάδι για διαγραφή μέχρι το τέλος της συζήτησης. Διαχειριστές: σύνδεσμοι εδώ, ιστορικό (τελευταία τροποποίηση), αρχεία καταγραφής, διαγραφή.

* Borovikov, V.ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Η τέχνη της ανάλυσης δεδομένων σε υπολογιστή: Για επαγγελματίες / V. Borovikov. - Αγία Πετρούπολη. : Peter, 2003. - 688 p. - ISBN 5-272-00078-1.

Στατιστικοί δείκτες
Περιγραφικός στατιστική	Συνεχής δεδομένα Συντελεστής διάτμησης Μέση (Αριθμητική, Γεωμετρική, Αρμονική) Διάμεση Εύρος λειτουργίας Παραλλαγή Κατάταξη · Τυπική απόκλιση· Συντελεστής διακύμανσης · ​​Ποσοστιαία (Δεκατόριο, Ποσοστό/Ποσοστό/ Εκατοστό) Στιγμές Προσδοκία · Διακύμανση · Στρεβλότητα · Κούρτωση Διακεκριμένος δεδομένα Συχνότητα · Πίνακας απρόβλεπτων
Στατιστικός έξοδο και εξέταση υποθέσεις	Στατιστικός συμπέρασμα Διάστημα Εμπιστοσύνης (Συχνές Πιθανότητες) Διάστημα Αξιοπιστίας (Μπαγιέζικο συμπέρασμα) Μετα-ανάλυση στατιστικής σημασίας Σχεδίαση πείραμα Πληθυσμός · Σχεδιασμός δειγματοληψίας · Δειγματοληψία περιοχής · Αντιγραφή · Ομαδοποίηση · Ευαισθησία και ειδικότητα Το μέγεθος του δείγματος Στατιστική ισχύς · Μέτρο επίδρασης · ​​Τυπικό σφάλμα Συνολική βαθμολογία Εκτίμηση Bayesian λύση ·

Διασποράείναι ο αριθμητικός μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων κάθε τιμής χαρακτηριστικού από τον συνολικό μέσο όρο. Ανάλογα με τα δεδομένα πηγής, η απόκλιση μπορεί να είναι μη σταθμισμένη (απλή) ή σταθμισμένη.

Η διακύμανση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

· για μη ομαδοποιημένα δεδομένα

· για ομαδοποιημένα δεδομένα

Η διαδικασία για τον υπολογισμό της σταθμισμένης διακύμανσης:

1. προσδιορίστε τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο

2. προσδιορίζονται αποκλίσεις της παραλλαγής από τον μέσο όρο

3. τετραγωνίστε την απόκλιση κάθε επιλογής από τον μέσο όρο

4. πολλαπλασιάστε τα τετράγωνα των αποκλίσεων με τα βάρη (συχνότητες)

5. συνοψίστε τα προκύπτοντα προϊόντα

6. το ποσό που προκύπτει διαιρείται με το άθροισμα των κλιμάκων

Ο τύπος για τον προσδιορισμό της διακύμανσης μπορεί να μετατραπεί στον ακόλουθο τύπο:

Απλός

Η διαδικασία για τον υπολογισμό της διακύμανσης είναι απλή:

1. προσδιορίστε τον αριθμητικό μέσο όρο

2. τετράγωνο του αριθμητικού μέσου όρου

3. τετράγωνο κάθε επιλογή στη σειρά

4. βρείτε την επιλογή αθροίσματος τετραγώνων

5. διαιρέστε το άθροισμα των τετραγώνων με τον αριθμό τους, δηλ. προσδιορίστε το μέσο τετράγωνο

6. προσδιορίστε τη διαφορά μεταξύ του μέσου τετραγώνου του χαρακτηριστικού και του τετραγώνου του μέσου όρου

Επίσης, ο τύπος για τον προσδιορισμό της σταθμισμένης διακύμανσης μπορεί να μετατραπεί στον ακόλουθο τύπο:

εκείνοι. η διασπορά είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ του μέσου όρου των τετραγωνικών τιμών του χαρακτηριστικού και του τετραγώνου του αριθμητικού μέσου όρου. Κατά τη χρήση του μετασχηματισμένου τύπου, εξαλείφεται η πρόσθετη διαδικασία για τον υπολογισμό των αποκλίσεων μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από το x και εξαλείφεται το σφάλμα στον υπολογισμό που σχετίζεται με τη στρογγυλοποίηση των αποκλίσεων

Η διασπορά έχει μια σειρά από ιδιότητες, μερικές από τις οποίες διευκολύνουν τον υπολογισμό:

1) η διακύμανση μιας σταθερής τιμής είναι μηδέν.

2) εάν όλες οι παραλλαγές των τιμών των χαρακτηριστικών μειωθούν κατά τον ίδιο αριθμό, τότε η απόκλιση δεν θα μειωθεί.

3) εάν όλες οι παραλλαγές των τιμών των χαρακτηριστικών μειωθούν κατά τον ίδιο αριθμό φορές (πάσο), τότε η διακύμανση θα μειωθεί κατά έναν παράγοντα

Τυπικές αποκλίσεις- αντιπροσωπεύει την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:

· για μη ομαδοποιημένα δεδομένα:

· για τη σειρά παραλλαγής:

Το εύρος διακύμανσης, ο γραμμικός μέσος όρος και η τυπική απόκλιση ονομάζονται ποσότητες. Έχουν τις ίδιες μονάδες μέτρησης με τις επιμέρους χαρακτηριστικές τιμές.

Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση είναι τα πιο ευρέως χρησιμοποιούμενα μέτρα διακύμανσης. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι περιλαμβάνονται στα περισσότερα θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, η οποία χρησιμεύει ως το θεμέλιο της μαθηματικής στατιστικής. Επιπλέον, η διακύμανση μπορεί να αποσυντεθεί στα συστατικά στοιχεία της, επιτρέποντας σε κάποιον να αξιολογήσει την επίδραση διαφόρων παραγόντων που καθορίζουν την παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού.

Ο υπολογισμός των δεικτών διακύμανσης για τις τράπεζες ομαδοποιημένες ανά περιθώριο κέρδους φαίνεται στον πίνακα.

Ποσό κέρδους, εκατομμύρια ρούβλια.	Αριθμός τραπεζών	υπολογισμένους δείκτες
3,7 - 4,6 (-)		4,15	8,30	-1,935	3,870	7,489
4,6 - 5,5		5,05	20,20	- 1,035	4,140	4,285
5,5 - 6,4		5,95	35,70	- 0,135	0,810	0,109
6,4 - 7,3		6,85	34,25	+0,765	3,825	2,926
7,3 - 8,2		7,75	23,25	+1,665	4,995	8,317
Σύνολο:			121,70		17,640	23,126

Η μέση γραμμική και τυπική απόκλιση δείχνουν πόσο κυμαίνεται κατά μέσο όρο η τιμή ενός χαρακτηριστικού μεταξύ των μονάδων και του πληθυσμού που μελετάται. Έτσι, σε αυτή την περίπτωση, η μέση διακύμανση του κέρδους είναι: σύμφωνα με τη μέση γραμμική απόκλιση, 0,882 εκατομμύρια ρούβλια. με τυπική απόκλιση - 1,075 εκατομμύρια ρούβλια. Η τυπική απόκλιση είναι πάντα μεγαλύτερη από τη μέση γραμμική απόκλιση. Εάν η κατανομή του χαρακτηριστικού είναι κοντά στο κανονικό, τότε υπάρχει σχέση μεταξύ S και d: S=1,25d, ή d=0,8S. Η τυπική απόκλιση δείχνει πώς βρίσκεται ο κύριος όγκος των μονάδων πληθυσμού σε σχέση με τον αριθμητικό μέσο όρο. Ανεξάρτητα από το σχήμα της κατανομής, 75 τιμές του χαρακτηριστικού εμπίπτουν στο διάστημα x 2S και τουλάχιστον 89 από όλες τις τιμές εμπίπτουν στο διάστημα x 3S (θεώρημα P.L. Chebyshev).

μέση αξία- αυτός είναι ένας γενικός δείκτης ενός στατιστικού πληθυσμού που εξαλείφει μεμονωμένες διαφορές στις τιμές των στατιστικών μεγεθών, επιτρέποντάς σας να συγκρίνετε διαφορετικούς πληθυσμούς μεταξύ τους.

Υπάρχει 2 τάξειςμέσες τιμές: και .

Οι διαρθρωτικοί μέσοι όροι περιλαμβάνουν μόδαΚαι διάμεσος, αλλά χρησιμοποιείται συχνότερα μέσους όρους ισχύοςδιάφοροι τύποι.

Μέσος όρος ισχύος

Οι μέσοι όροι ισχύος μπορεί να είναι απλόςΚαι σταθμισμένη.

Απλός μέσος όροςυπολογίζεται εάν υπάρχουν δύο ή περισσότερα μη ομαδοποιημένοςστατιστικές ποσότητες ταξινομημένες με τυχαία σειρά σύμφωνα με τον ακόλουθο γενικό τύπο:

Σταθμισμένος μέσος όροςυπολογίζεται από ομαδοποιημέναστατιστικές τιμές χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο γενικό τύπο:

Όπου X είναι οι τιμές μεμονωμένων στατιστικών τιμών ή το μέσο των διαστημάτων ομαδοποίησης.
m είναι ο εκθέτης, η τιμή του οποίου καθορίζει τα ακόλουθα τύποι μέσου όρου ισχύος:
σε m = -1;
σε m = 0;
όταν m = 1;
σε m = 2;
σε m = 3.

Χρησιμοποιώντας γενικούς τύπους για απλούς και σταθμισμένους μέσους όρους για διαφορετικούς εκθέτες m, λαμβάνουμε συγκεκριμένους τύπους κάθε τύπου, οι οποίοι θα συζητηθούν λεπτομερώς παρακάτω.

Αριθμητικός μέσος όρος

Αριθμητικός μέσος όρος- αυτή είναι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μέση τιμή, η οποία προκύπτει αντικαθιστώντας το m=1 στον γενικό τύπο. Αριθμητικός μέσος όρος απλόςέχει την εξής μορφή:

Όπου X είναι οι τιμές των ποσοτήτων για τις οποίες πρέπει να υπολογιστεί η μέση τιμή· N είναι ο συνολικός αριθμός των τιμών X (ο αριθμός των μονάδων στον πληθυσμό που μελετάται).

Για παράδειγμα, ένας μαθητής πέρασε 4 εξετάσεις και έλαβε τους ακόλουθους βαθμούς: 3, 4, 4 και 5. Ας υπολογίσουμε τη μέση βαθμολογία χρησιμοποιώντας τον απλό αριθμητικό μέσο όρο: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.

Αριθμητικός μέσος όρος σταθμισμένηέχει την εξής μορφή:

Όπου f είναι ο αριθμός των ποσοτήτων με την ίδια τιμή X (συχνότητα).

Για παράδειγμα, ένας μαθητής πέρασε 4 εξετάσεις και έλαβε τους ακόλουθους βαθμούς: 3, 4, 4 και 5. Ας υπολογίσουμε τη μέση βαθμολογία χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.

Εάν οι τιμές X καθορίζονται ως διαστήματα, τότε τα μεσαία σημεία των διαστημάτων X χρησιμοποιούνται για υπολογισμούς, τα οποία ορίζονται ως το μισό άθροισμα των άνω και κάτω ορίων του διαστήματος. Και αν το διάστημα X δεν έχει κατώτερο ή ανώτερο όριο (ανοιχτό διάστημα), τότε για να το βρείτε, χρησιμοποιήστε το εύρος (η διαφορά μεταξύ του άνω και του κάτω ορίου) του παρακείμενου διαστήματος X.

Για παράδειγμα, μια επιχείρηση έχει 10 υπαλλήλους με εμπειρία έως 3 ετών, 20 με 3 έως 5 χρόνια εμπειρίας, 5 εργαζόμενους με εμπειρία άνω των 5 ετών. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη μέση προϋπηρεσία των εργαζομένων χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο, λαμβάνοντας ως Χ το μέσο των διαστημάτων διάρκειας υπηρεσίας (2, 4 και 6 έτη):
(2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 έτη.

Ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται συχνότερα, αλλά υπάρχουν φορές που είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν άλλοι τύποι μέσων. Ας εξετάσουμε περαιτέρω τέτοιες περιπτώσεις.

Αρμονική μέση

Αρμονική μέσηχρησιμοποιείται όταν τα δεδομένα πηγής δεν περιέχουν συχνότητες f για μεμονωμένες τιμές X, αλλά παρουσιάζονται ως γινόμενο Xf. Έχοντας ορίσει Xf=w, εκφράζουμε f=w/X και, αντικαθιστώντας αυτούς τους συμβολισμούς στον τύπο για τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο, λαμβάνουμε τον τύπο για τον αρμονικό σταθμισμένο μέσο όρο:

Έτσι, ο σταθμισμένος αρμονικός μέσος όρος χρησιμοποιείται όταν οι συχνότητες f είναι άγνωστες και w=Xf είναι γνωστές. Σε περιπτώσεις όπου όλα τα w = 1, δηλαδή, μεμονωμένες τιμές του X εμφανίζονται μία φορά, εφαρμόζεται ο μέσος αρμονικός πρώτος τύπος:

Για παράδειγμα, ένα αυτοκίνητο ταξίδευε από το σημείο Α στο σημείο Β με ταχύτητα 90 km/h και πίσω με ταχύτητα 110 km/h. Για να προσδιορίσουμε τη μέση ταχύτητα, εφαρμόζουμε τον τύπο για τη μέση αρμονική απλή, αφού στο παράδειγμα δίνεται η απόσταση w 1 =w 2 (η απόσταση από το σημείο Α στο σημείο Β είναι ίδια με το Β στο Α), που είναι ίσο με το γινόμενο της ταχύτητας (Χ) και του χρόνου ( f). Μέση ταχύτητα = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/h.

Γεωμετρικό μέσο

Γεωμετρικό μέσοχρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του μέσου όρου των σχετικών αλλαγών, όπως συζητήθηκε στη σειρά θέματος Δυναμική. Ο γεωμετρικός μέσος όρος δίνει το πιο ακριβές αποτέλεσμα υπολογισμού μέσου όρου εάν η εργασία είναι να βρεθεί μια τιμή του X που θα ήταν ίση απόσταση τόσο από τη μέγιστη όσο και από την ελάχιστη τιμή του X.

Για παράδειγμα, μεταξύ 2005 και 2008 δείκτης πληθωρισμούστη Ρωσία ήταν: το 2005 - 1,109; το 2006 - 1.090; το 2007 - 1.119; το 2008 - 1.133. Δεδομένου ότι ο δείκτης πληθωρισμού είναι μια σχετική μεταβολή (δυναμικός δείκτης), η μέση τιμή πρέπει να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό μέσο όρο: (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, δηλαδή για την περίοδο από το 2005 έως το 2008 οι τιμές αυξήθηκαν ετησίως κατά μέσο όρο 11,26%. Ένας λανθασμένος υπολογισμός με χρήση του αριθμητικού μέσου όρου θα έδινε εσφαλμένο αποτέλεσμα 11,28%.

Μέσο τετράγωνο

Μέσο τετράγωνοχρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου οι αρχικές τιμές του X μπορεί να είναι θετικές και αρνητικές, για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό των μέσων αποκλίσεων.

Η κύρια εφαρμογή του τετραγωνικού μέσου όρου είναι η μέτρηση της διακύμανσης των τιμών Χ, η οποία θα συζητηθεί.

Μέσο κυβικό

Μέσο κυβικόχρησιμοποιείται εξαιρετικά σπάνια, για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό των δεικτών φτώχειας για τις αναπτυσσόμενες χώρες (TIN-1) και για τις ανεπτυγμένες (TIN-2), που προτείνονται και υπολογίζονται από τον ΟΗΕ.

Διαρθρωτικοί μέσοι όροι

Στα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα διαρθρωτικός μέσος όροςπεριλαμβάνουν και .

Στατιστική λειτουργία

Στατιστική λειτουργίαείναι η πιο συχνά επαναλαμβανόμενη τιμή του X σε έναν στατιστικό πληθυσμό.

Αν δοθεί Χ διακριτικά, τότε η λειτουργία καθορίζεται χωρίς υπολογισμό ως η τιμή της δυνατότητας με την υψηλότερη συχνότητα. Σε έναν στατιστικό πληθυσμό υπάρχουν 2 ή περισσότεροι τρόποι, τότε εξετάζεται διτροπικός(αν υπάρχουν δύο τρόποι) ή πολυτροπικό(αν υπάρχουν περισσότεροι από δύο τρόποι), και αυτό δείχνει την ετερογένεια του πληθυσμού.

Για παράδειγμα, η εταιρεία απασχολεί 16 άτομα: 4 από αυτούς έχουν 1 έτος εμπειρίας, 3 άτομα έχουν 2 χρόνια εμπειρία, 5 έχουν 3 χρόνια εμπειρία και 4 άτομα έχουν 4 χρόνια εμπειρία. Έτσι, τροπική εμπειρία Mo = 3 χρόνια, αφού η συχνότητα αυτής της τιμής είναι μέγιστη (f = 5).

Αν δοθεί Χ σε ίσα διαστήματα, τότε το τροπικό διάστημα ορίζεται πρώτα ως το διάστημα με την υψηλότερη συχνότητα f. Μέσα σε αυτό το διάστημα, η υπό όρους τιμή της λειτουργίας βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Όπου η Μο είναι μόδα.
X NMo – κατώτερο όριο του διαστήματος τρόπων μεταφοράς.
h Mo είναι το εύρος του τροπικού διαστήματος (η διαφορά μεταξύ των άνω και κάτω ορίων του).
f Mo – συχνότητα του διαστήματος των τρόπων.
f Mo-1 – συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του τροπικού.
f Mo+1 – συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το τροπικό.

Για παράδειγμα, μια επιχείρηση έχει 10 υπαλλήλους με εμπειρία έως 3 ετών, 20 με 3 έως 5 χρόνια εμπειρίας, 5 εργαζόμενους με εμπειρία άνω των 5 ετών. Ας υπολογίσουμε την τροπική εργασιακή εμπειρία στο χρονικό διάστημα από 3 έως 5 χρόνια: Mo = 3 + 2*(20-10)/(2*20-10-5) = 3,8 (έτη).

Εάν το εύρος των διαστημάτων h είναι διαφορετικό, τότε αντί για τις συχνότητες f είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν πυκνότητες διαστήματος, που υπολογίζονται διαιρώντας τις συχνότητες f με το εύρος του διαστήματος h.

Στατιστική διάμεσος

Στατιστική διάμεσος– αυτή είναι η τιμή της ποσότητας X, η οποία διαιρεί έναν στατιστικό πληθυσμό ταξινομημένο κατά αύξουσα ή φθίνουσα σειρά σε 2 ίσα μέρη. Ως αποτέλεσμα, το ένα μισό έχει τιμή μεγαλύτερη από τη διάμεσο και το άλλο μισό έχει τιμή μικρότερη από τη διάμεσο.

Αν δοθεί Χ διακριτικά, στη συνέχεια για να προσδιοριστεί η διάμεσος, όλες οι τιμές αριθμούνται από το 0 έως το Ν με αύξουσα σειρά, τότε η διάμεσος για έναν ζυγό αριθμό N θα βρίσκεται στη μέση μεταξύ του X με αριθμούς 0,5N και (0,5N+1) και για έναν περιττό αριθμό N θα αντιστοιχεί στην τιμή του X με αριθμό 0,5(N+1) .

Για παράδειγμα, υπάρχουν δεδομένα σχετικά με την ηλικία των φοιτητών μερικής φοίτησης σε μια ομάδα 10 ατόμων - Χ: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 ετών. Αυτά τα δεδομένα είναι ήδη ταξινομημένα με αύξουσα σειρά και ο αριθμός τους N=10 είναι ζυγός, επομένως η διάμεσος θα είναι μεταξύ X με αριθμούς 0,5*10=5 και (0,5*10+1)=6, που αντιστοιχούν στις τιμές X 5 = 21 και X 6 =23, τότε η διάμεσος: Me = (21+23)/2 = 22 (έτη).

Αν το Χ δίνεται στη μορφή ίσα διαστήματα, στη συνέχεια προσδιορίζεται πρώτα το διάμεσο διάστημα (το διάστημα στο οποίο τελειώνει η μία από τις συχνότητες f και αρχίζει η άλλη μισή), στο οποίο η υπό όρους τιμή της διάμεσης τιμής βρίσκεται με τον τύπο:

Όπου Εγώ είμαι η διάμεσος.
X НМе – κατώτερο όριο του ενδιάμεσου διαστήματος.
h Ме – το εύρος του διάμεσου διαστήματος (η διαφορά μεταξύ των άνω και κάτω ορίων του).
f Ме – συχνότητα του ενδιάμεσου διαστήματος.
f Ме-1 – άθροισμα των συχνοτήτων των διαστημάτων που προηγούνται της διάμεσης.

Στο παράδειγμα που συζητήθηκε προηγουμένως, κατά τον υπολογισμό της διάρκειας υπηρεσίας (η επιχείρηση έχει 10 υπαλλήλους με έως και 3 χρόνια εμπειρίας, 20 με 3 έως 5 χρόνια εμπειρίας, 5 εργαζόμενους με περισσότερα από 5 χρόνια εμπειρίας), υπολογίζουμε τη διάμεσο προϋπηρεσία. Το ήμισυ του συνολικού αριθμού εργαζομένων είναι (10+20+5)/2 = 17,5 και είναι στο διάστημα από 3 έως 5 χρόνια, και στο πρώτο διάστημα έως 3 χρόνια υπάρχουν μόνο 10 εργαζόμενοι, και στα δύο πρώτα - (10+20) =30, που είναι περισσότερο από 17,5, σημαίνει ότι το διάστημα από 3 έως 5 χρόνια είναι το διάμεσο. Μέσα σε αυτό, προσδιορίζουμε την υπό όρους τιμή της διάμεσης τιμής: Me = 3+2*(0,5*30-10)/20 = 3,5 (έτη).

Ακριβώς όπως στην περίπτωση του τρόπου λειτουργίας, όταν προσδιορίζεται η διάμεσος, εάν το εύρος των διαστημάτων h είναι διαφορετικό, τότε αντί για τις συχνότητες f είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν πυκνότητες διαστήματος, που υπολογίζονται διαιρώντας τις συχνότητες f με το εύρος του διαστήματος h.

Δείκτες διακύμανσης

Παραλλαγήείναι η διαφορά στις τιμές των τιμών Χ για μεμονωμένες μονάδες του στατιστικού πληθυσμού. Για τη μελέτη της ισχύος της διακύμανσης, υπολογίζονται τα ακόλουθα δείκτες διακύμανσης: , , , , .

Εύρος παραλλαγής

Εύρος παραλλαγήςείναι η διαφορά μεταξύ των μέγιστων και ελάχιστων τιμών του X που είναι διαθέσιμες στον υπό μελέτη στατιστικό πληθυσμό:

Το μειονέκτημα του Η είναι ότι δείχνει μόνο τη μέγιστη διαφορά στις τιμές Χ και δεν μπορεί να μετρήσει την ισχύ της διακύμανσης σε ολόκληρο τον πληθυσμό.

Μέση γραμμική απόκλιση

Μέση γραμμική απόκλισηείναι ο μέσος συντελεστής αποκλίσεων των τιμών Χ από τον αριθμητικό μέσο όρο. Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο όρο απλός- παίρνουμε :

Για παράδειγμα, ένας μαθητής πέρασε 4 εξετάσεις και έλαβε τους ακόλουθους βαθμούς: 3, 4, 4 και 5. = 4. Ας υπολογίσουμε την απλή μέση γραμμική απόκλιση: L = (|3-4|+|4-4|+|4 -4|+|. 5-4|)/4 = 0,5.

Εάν τα δεδομένα πηγής X είναι ομαδοποιημένα (υπάρχουν συχνότητες f), τότε η μέση γραμμική απόκλιση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο τύπο σταθμισμένη- παίρνουμε :

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα ενός μαθητή που πέρασε 4 εξετάσεις και έλαβε τους ακόλουθους βαθμούς: 3, 4, 4 και 5. = 4 και = 0,5. Ας υπολογίσουμε τη σταθμισμένη μέση γραμμική απόκλιση: L = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5.

Γραμμικός συντελεστής διακύμανσης

Γραμμικός συντελεστής διακύμανσηςείναι ο λόγος της μέσης γραμμικής απόκλισης προς τον αριθμητικό μέσο όρο:

Χρησιμοποιώντας τον γραμμικό συντελεστή διακύμανσης, μπορείτε να συγκρίνετε τη διακύμανση διαφορετικών πληθυσμών επειδή, σε αντίθεση με τη μέση γραμμική απόκλιση, η τιμή της δεν εξαρτάται από τις μονάδες μέτρησης X.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα σχετικά με έναν μαθητή που πέτυχε 4 εξετάσεις και έλαβε τους ακόλουθους βαθμούς: 3, 4, 4 και 5, ο γραμμικός συντελεστής διακύμανσης θα είναι 0,5/4 = 0,125 ή 12,5%.

Διασπορά

Διασποράείναι το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των τιμών Χ από τον αριθμητικό μέσο όρο. Η διασπορά μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο όρο απλός- παίρνουμε απλή διακύμανση:

Στο ήδη γνωστό σε μας παράδειγμα για έναν μαθητή που πέρασε 4 εξετάσεις και έλαβε βαθμούς: 3, 4, 4 και 5, = 4. Τότε η διακύμανση είναι απλή D = ((3-4) 2 +(4-4) 2 +(4- 4) 2 +(5-4) 2)/4 = 0,5.

Εάν τα αρχικά δεδομένα X είναι ομαδοποιημένα (υπάρχουν συχνότητες f), τότε η διακύμανση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο τύπο σταθμισμένη- παίρνουμε διακύμανση σταθμισμένη:

Στο υπό εξέταση παράδειγμα σχετικά με έναν μαθητή που πέτυχε 4 εξετάσεις και έλαβε τους ακόλουθους βαθμούς: 3, 4, 4 και 5, υπολογίζουμε τη σταθμισμένη διακύμανση: D = ((3-4) 2 *1+(4-4) 2 *2+(5 -4) 2 *1)/4 = 0,5.

Εάν μετασχηματίσετε τον τύπο διακύμανσης (ανοίγετε τις παρενθέσεις στον αριθμητή, διαιρέστε τον όρο με τον όρο με τον παρονομαστή και δώσετε παρόμοια), μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο για τον υπολογισμό του ως τη διαφορά μεταξύ των μέσων τετραγώνων και του τετραγώνου του μέσου όρου:

Είναι ακόμα πιο εύκολο να το βρεις τυπική απόκλιση, εάν η διακύμανση έχει προϋπολογιστεί ως η τετραγωνική ρίζα της:

Στο παράδειγμα για το μαθητή, στο οποίο παραπάνω, βρίσκουμε την τυπική απόκλιση ως τετραγωνική ρίζα του: .

Τετραγωνικός συντελεστής διακύμανσης

Τετραγωνικός συντελεστής διακύμανσηςείναι το πιο δημοφιλές σχετικό μέτρο διακύμανσης:

Τιμή κριτηρίουΟ τετραγωνικός συντελεστής διακύμανσης V είναι 0,333 ή 33,3%, δηλαδή εάν το V είναι μικρότερο ή ίσο με 0,333, η διακύμανση θεωρείται ασθενής και εάν είναι μεγαλύτερη από 0,333 θεωρείται ισχυρή. Σε περίπτωση έντονης διακύμανσης, λαμβάνεται υπόψη ο υπό μελέτη στατιστικός πληθυσμός ετερογενής, και η μέση τιμή είναι άτυποςκαι δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως γενικός δείκτης αυτού του πληθυσμού.

Στο παράδειγμα σχετικά με έναν μαθητή, στο οποίο παραπάνω , βρίσκουμε τον τετραγωνικό συντελεστή διακύμανσης V = 0,707/4 = 0,177, που είναι μικρότερος από την τιμή κριτηρίου 0,333, που σημαίνει ότι η διακύμανση είναι ασθενής και ίση με 17,7%.

Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ονομάζεται τυπική απόκλιση από τη μέση, η οποία υπολογίζεται ως εξής:

Ένας στοιχειώδης αλγεβρικός μετασχηματισμός του τύπου τυπικής απόκλισης τον οδηγεί στην ακόλουθη μορφή:

Αυτός ο τύπος συχνά αποδεικνύεται πιο βολικός στην πρακτική υπολογισμού.

Η τυπική απόκλιση, όπως και η μέση γραμμική απόκλιση, δείχνει πόσο κατά μέσο όρο αποκλίνουν οι συγκεκριμένες τιμές ενός χαρακτηριστικού από τη μέση τιμή τους. Η τυπική απόκλιση είναι πάντα μεγαλύτερη από τη μέση γραμμική απόκλιση. Υπάρχει η εξής σχέση μεταξύ τους:

Γνωρίζοντας αυτήν την αναλογία, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους γνωστούς δείκτες για να προσδιορίσετε το άγνωστο, για παράδειγμα, αλλά (ΕΓΩ υπολογίστε το α και το αντίστροφο. Η τυπική απόκλιση μετρά το απόλυτο μέγεθος της μεταβλητότητας ενός χαρακτηριστικού και εκφράζεται στις ίδιες μονάδες μέτρησης με τις τιμές του χαρακτηριστικού (ρούβλια, τόνοι, χρόνια κ.λπ.). Είναι ένα απόλυτο μέτρο διακύμανσης.

Για εναλλακτικές πινακίδες, για παράδειγμα, η παρουσία ή η απουσία τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, ασφάλισης, οι τύποι διασποράς και τυπικής απόκλισης είναι οι εξής:

Ας δείξουμε τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης σύμφωνα με τα δεδομένα μιας διακριτής σειράς που χαρακτηρίζει την κατανομή των φοιτητών σε μία από τις πανεπιστημιακές σχολές ανά ηλικία (Πίνακας 6.2).

Πίνακας 6.2.

Τα αποτελέσματα των βοηθητικών υπολογισμών δίνονται στις στήλες 2-5 του πίνακα. 6.2.

Η μέση ηλικία ενός μαθητή, έτη, καθορίζεται από τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο (στήλη 2):

Οι τετραγωνικές αποκλίσεις της ατομικής ηλικίας του μαθητή από τον μέσο όρο περιλαμβάνονται στις στήλες 3-4 και τα γινόμενα των τετραγωνικών αποκλίσεων και οι αντίστοιχες συχνότητες περιλαμβάνονται στη στήλη 5.

Βρίσκουμε τη διακύμανση της ηλικίας, των ετών των μαθητών, χρησιμοποιώντας τον τύπο (6.2):

Τότε o = l/3,43 1,85 *oda, δηλ. Κάθε συγκεκριμένη τιμή της ηλικίας ενός μαθητή αποκλίνει από τον μέσο όρο κατά 1,85 έτη.

Ο συντελεστής διακύμανσης

Στην απόλυτη τιμή της, η τυπική απόκλιση εξαρτάται όχι μόνο από τον βαθμό διακύμανσης του χαρακτηριστικού, αλλά και από τα απόλυτα επίπεδα επιλογών και τον μέσο όρο. Επομένως, είναι αδύνατο να συγκριθούν απευθείας οι τυπικές αποκλίσεις των σειρών διακύμανσης με διαφορετικά μέσα επίπεδα. Για να μπορέσετε να κάνετε μια τέτοια σύγκριση, πρέπει να βρείτε το μερίδιο της μέσης απόκλισης (γραμμικής ή τετραγωνικής) στον αριθμητικό μέσο όρο, εκφραζόμενο ως ποσοστό, δηλ. υπολογίζω σχετικά μέτρα διακύμανσης.

Γραμμικός συντελεστής διακύμανσης υπολογίζεται με τον τύπο

Ο συντελεστής διακύμανσης καθορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

Στους συντελεστές διακύμανσης, δεν εξαλείφεται μόνο η ασύγκριση που σχετίζεται με διαφορετικές μονάδες μέτρησης του χαρακτηριστικού που μελετάται, αλλά και η ασύγκριση που προκύπτει λόγω διαφορών στην τιμή των αριθμητικών μέσων. Επιπλέον, οι δείκτες διακύμανσης χαρακτηρίζουν την ομοιογένεια του πληθυσμού. Ο πληθυσμός θεωρείται ομοιογενής εάν ο συντελεστής διακύμανσης δεν υπερβαίνει το 33%.

Σύμφωνα με τον πίνακα. 6.2 και τα αποτελέσματα υπολογισμού που ελήφθησαν παραπάνω, προσδιορίζουμε τον συντελεστή διακύμανσης, %, σύμφωνα με τον τύπο (6.3):

Εάν ο συντελεστής διακύμανσης υπερβαίνει το 33%, τότε αυτό υποδηλώνει την ετερογένεια του πληθυσμού που μελετάται. Η τιμή που προκύπτει στην περίπτωσή μας δείχνει ότι ο πληθυσμός των μαθητών ανά ηλικία είναι ομοιογενής ως προς τη σύνθεση. Έτσι, μια σημαντική λειτουργία της γενίκευσης των δεικτών διακύμανσης είναι η αξιολόγηση της αξιοπιστίας των μέσων όρων. Το λιγότερο c1, α2 και V, τόσο πιο ομοιογενές είναι το σύνολο φαινομένων που προκύπτει και τόσο πιο αξιόπιστος ο μέσος όρος που προκύπτει. Σύμφωνα με τον «κανόνα των τριών σίγμα» που λαμβάνεται υπόψη από τις μαθηματικές στατιστικές, σε κανονικά κατανεμημένες ή κοντά σε αυτές σειρές, αποκλίσεις από τον αριθμητικό μέσο όρο που δεν υπερβαίνουν το ±3ο εμφανίζονται σε 997 περιπτώσεις από τις 1000. Έτσι, γνωρίζοντας Χ και α, μπορείτε να πάρετε μια γενική αρχική ιδέα για τη σειρά παραλλαγής. Εάν, για παράδειγμα, ο μέσος μισθός ενός εργαζομένου σε μια εταιρεία είναι 25.000 ρούβλια και το a είναι ίσο με 100 ρούβλια, τότε με μια πιθανότητα κοντά στη βεβαιότητα, μπορούμε να πούμε ότι οι μισθοί των εργαζομένων της εταιρείας κυμαίνονται εντός του εύρους (25.000 ± ± 3 x 100 ) δηλ. από 24.700 έως 25.300 ρούβλια.