Neliöllinen toiminto. Visuaalinen opas (2020). Paraabelin rakentaminen Microsoft Excelissä Paraabelin piirtäminen yhtälön avulla

Ehdotan, että muut lukijat laajentavat merkittävästi koulutietoaan paraabeleista ja hyperboleista. Hyperbola ja paraabeli – ovatko ne yksinkertaisia? ...en malta odottaa =)

Hyperbola ja sen kanoninen yhtälö

Materiaalin esityksen yleinen rakenne muistuttaa edellistä kappaletta. Aloitetaan hyperbolan yleisestä käsitteestä ja sen rakentamistehtävästä.

Hyperbolin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa ovat positiiviset reaaliluvut. Huomaa, että toisin kuin ellipsi, ehtoa ei aseteta tässä, eli "a":n arvo voi olla pienempi kuin "be"-arvo.

Minun on sanottava, aivan odottamatta... "koulu"hyperbolin yhtälö ei edes läheisesti muistuta kanonista merkintää. Mutta tämä mysteeri saa vielä odottaa meitä, mutta nyt raaputetaan päätämme ja muistetaan, mitä ominaispiirteitä kyseisellä käyrällä on? Levitetään se mielikuvituksemme ruudulle funktion kuvaaja ….

Hyperbolalla on kaksi symmetristä haaraa.

Ei huono edistys! Kaikilla hyperboleilla on nämä ominaisuudet, ja nyt katsomme aidosti ihaillen tämän linjan pääntietä:

Esimerkki 4

Muodosta yhtälön antama hyperboli

Ratkaisu: ensimmäisessä vaiheessa tuomme tämän yhtälön kanoniseen muotoon. Muista vakiomenettely. Oikealla sinun on saatava "yksi", joten jaamme alkuperäisen yhtälön molemmat puolet 20: llä:

Täällä voit pienentää molempia fraktioita, mutta on optimaalisempaa tehdä jokainen niistä kolmikerroksinen:

Ja vasta sen jälkeen suorita vähennys:

Valitse neliöt nimittäjistä:

Miksi muutosten tekeminen tällä tavalla on parempi? Loppujen lopuksi vasemman puolen fraktioita voidaan vähentää ja saada välittömästi. Tosiasia on, että tarkasteltavassa esimerkissä meillä oli vähän onnea: luku 20 on jaollinen sekä 4:llä että 5:llä. Yleensä tällainen luku ei toimi. Harkitse esimerkiksi yhtälöä . Täällä jaettavuudella kaikki on surullisempaa ja ilman kolmikerroksisia murto-osia ei enää mahdollista:

Joten, käytetään työmme hedelmää - kanonista yhtälöä:

Kuinka rakentaa hyperbola?

Hyperbolin muodostamiseen on kaksi lähestymistapaa - geometrinen ja algebrallinen.
Käytännön näkökulmasta kompassilla piirtäminen... Sanoisin jopa utopistista, joten on paljon kannattavampaa käyttää jälleen kerran apuna yksinkertaisia ​​laskelmia.

On suositeltavaa noudattaa seuraavaa algoritmia, ensin valmis piirros, sitten kommentit:

Käytännössä kohdataan usein mielivaltaisen kulman mukaisen kiertymisen ja hyperbelin rinnakkaissiirron yhdistelmä. Tästä tilanteesta keskustellaan luokassa Toisen asteen riviyhtälön pelkistäminen kanoniseen muotoon.

Paraabeli ja sen kanoninen yhtälö

Se on valmis! Hän on se. Valmis paljastamaan monia salaisuuksia. Paraabelin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa on reaaliluku. On helppo huomata, että vakioasennossaan paraabeli "makaa kyljellään" ja sen kärki on origossa. Tässä tapauksessa funktio määrittää tämän rivin ylähaaran ja funktio alemman haaran. On selvää, että paraabeli on symmetrinen akselin suhteen. Oikeastaan, miksi vaivautua:

Esimerkki 6

Rakenna paraabeli

Ratkaisu: kärki on tiedossa, etsitään lisäpisteitä. Yhtälö määrittää paraabelin yläkaaren, yhtälö määrittää alemman kaaren.

Laskelmien kirjaamisen lyhentämiseksi suoritamme laskelmat "yhdellä harjalla":

Kompaktitallennuksessa tulokset voitaisiin koota taulukkoon.

Ennen kuin suoritat alkeellisen pistekohtaisen piirustuksen, muotoillaan tiukka

paraabelin määritelmä:

Paraabeli on joukko kaikkia tason pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä ja tietystä suorasta, joka ei kulje pisteen läpi.

Piste on ns keskittyä paraabelit, suora viiva - johtajatar (kirjoitettu yhdellä "es") paraabelit. Kanonisen yhtälön vakio "pe" on nimeltään polttoparametri, joka on yhtä suuri kuin etäisyys kohdistuksesta suuntaviivaan. Tässä tapauksessa . Tässä tapauksessa painopisteellä on koordinaatit ja suunta saadaan yhtälöstä .
Esimerkissämme:

Paraabelin määritelmä on jopa yksinkertaisempi ymmärtää kuin ellipsin ja hyperbolin määritelmät. Minkä tahansa paraabelin pisteen janan pituus (etäisyys tarkennuksesta pisteeseen) on yhtä suuri kuin kohtisuoran pituus (etäisyys pisteestä suuntaviivaan):

Onnittelut! Monet teistä ovat tehneet todellisen löydön tänään. Osoittautuu, että hyperbola ja paraabeli eivät ole ollenkaan "tavallisten" funktioiden kuvaajia, vaan niillä on selvä geometrinen alkuperä.

On selvää, että polttoparametrin kasvaessa kaavion haarat "nousevat" ylös ja alas lähestyen äärettömän lähellä akselia. Kun "pe"-arvo laskee, ne alkavat puristaa ja venyä pitkin akselia

Minkä tahansa paraabelin epäkeskisyys on yhtä suuri kuin yksikkö:

Paraabelin kierto ja rinnakkaissiirto

Paraabeli on yksi yleisimmistä matematiikan viivoista, ja sinun on rakennettava se todella usein. Siksi kiinnitä erityistä huomiota oppitunnin viimeiseen kappaleeseen, jossa keskustelen tämän käyrän tyypillisistä sijainnista.

! Huomautus : kuten aikaisempien käyrien tapauksessa, on oikeampaa puhua rotaatiosta ja koordinaattiakselien rinnakkaissiirrosta, mutta kirjoittaja rajoittuu esityksen yksinkertaistettuun versioon, jotta lukijalla on peruskäsitys näistä muunnoksista.

Rakenna toiminto

Tarjoamme huomiollesi palvelun funktiokaavioiden muodostamiseen verkossa, johon kaikki oikeudet kuuluvat yritykselle Desmos. Käytä vasenta saraketta funktioiden syöttämiseen. Voit kirjoittaa manuaalisesti tai käyttämällä ikkunan alareunassa olevaa virtuaalista näppäimistöä. Voit suurentaa ikkunaa kaaviolla piilottamalla sekä vasemman sarakkeen että virtuaalisen näppäimistön.

Online-kartoituksen edut

• Syötettyjen toimintojen visuaalinen näyttö
• Erittäin monimutkaisten kaavioiden rakentaminen
• Epäsuorasti määritettyjen kaavioiden rakentaminen (esimerkiksi ellipsi x^2/9+y^2/16=1)
• Mahdollisuus tallentaa kaavioita ja vastaanottaa linkki niihin, joka tulee kaikkien saataville Internetissä
• Mittakaavan hallinta, viivan väri
• Mahdollisuus piirtää kuvaajia pisteittäin vakioiden avulla
• Useiden funktiokaavioiden piirtäminen samanaikaisesti
• Piirtäminen napakoordinaateissa (käytä r:tä ja θ(\theta))

Meidän avullamme on helppo rakentaa monimutkaisia ​​kaavioita verkossa. Rakentaminen valmistuu välittömästi. Palvelulla on kysyntää funktioiden leikkauspisteiden etsimiseen, graafien kuvaamiseen niiden siirtämiseksi edelleen Word-dokumenttiin kuvitteellisesti tehtävien ratkaisussa sekä funktiokaavioiden käyttäytymisominaisuuksien analysointiin. Optimaalinen selain tämän sivuston kaavioiden työskentelyyn on Google Chrome. Oikeaa toimintaa ei taata käytettäessä muita selaimia.

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudellisen menettelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Luultavasti kaikki tietävät, mikä paraabeli on. Mutta tarkastelemme, kuinka sitä käytetään oikein ja asiantuntevasti, kun ratkaisemme erilaisia ​​käytännön ongelmia alla.

Ensin hahmotellaan peruskäsitteet, jotka algebra ja geometria antavat tälle termille. Tarkastellaan kaikkia tämän kaavion mahdollisia tyyppejä.

Selvitetään kaikki tämän toiminnon tärkeimmät ominaisuudet. Ymmärretään käyrän rakentamisen (geometrian) perusteet. Opitaan kuinka löytää tämän tyyppisen kaavion ylä- ja muut perusarvot.

Otetaan selvää: kuinka rakentaa haluttu käyrä oikein yhtälön avulla, mihin sinun on kiinnitettävä huomiota. Katsotaanpa tämän ainutlaatuisen arvon pääasiallista käytännön sovellusta ihmiselämässä.

Mikä on paraabeli ja miltä se näyttää?

Algebra: Tämä termi viittaa toisen asteen funktion kuvaajaan.

Geometria: tämä on toisen asteen käyrä, jolla on useita erityispiirteitä:

Kanoninen paraabeliyhtälö

Kuvassa on suorakulmainen koordinaattijärjestelmä (XOY), ääripää, funktion haarojen suunta piirrettynä abskissa-akselia pitkin.

Kanoninen yhtälö on:

y 2 = 2 * p * x,

jossa kerroin p on paraabelin (AF) polttoparametri.

Algebrassa se kirjoitetaan eri tavalla:

y = a x 2 + b x + c (tunnistettava kuvio: y = x 2).

Toisen asteen funktion ominaisuudet ja kuvaaja

Funktiolla on symmetria-akseli ja keskipiste (ääripiste). Määritelmäalue on kaikki abskissa-akselin arvot.

Funktion arvoalue – (-∞, M) tai (M, +∞) riippuu käyrän haarojen suunnasta. Parametri M tarkoittaa tässä rivin yläosassa olevan funktion arvoa.

Kuinka määrittää, mihin paraabelin haarat on suunnattu

Löytääksesi tämän tyyppisen käyrän suunnan lausekkeesta, sinun on määritettävä etumerkki ennen algebrallisen lausekkeen ensimmäistä parametria. Jos a ˃ 0, ne on suunnattu ylöspäin. Jos asia on toisinpäin, alas.

Kuinka löytää paraabelin kärki kaavan avulla

Äärikohdan löytäminen on tärkein askel monien käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Tietenkin voit avata erityisiä online-laskimia, mutta on parempi pystyä tekemään se itse.

Miten se määritetään? On olemassa erityinen kaava. Kun b ei ole yhtä suuri kuin 0, meidän on etsittävä tämän pisteen koordinaatit.

Kaavat kärjen löytämiseksi:

• x0 = -b/(2*a);
• y 0 = y (x 0).

Esimerkki.

On olemassa funktio y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Etsitään tämän funktion kärjet.

Tällaiselle riville:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Saamme kärjen (-2, -41) koordinaatit.

Paraabelin siirtymä

Klassinen tapaus on, kun toisen asteen funktiossa y = a x 2 + b x + c toinen ja kolmas parametri ovat yhtä kuin 0 ja = 1 - kärki on pisteessä (0; 0).

Liikkuminen pitkin abskissa- tai ordinaattisia akseleita johtuu parametrien b ja c muutoksista, vastaavasti. Tasossa olevaa viivaa siirretään täsmälleen parametrin arvon verran.

Esimerkki.

Meillä on: b = 2, c = 3.

Tämä tarkoittaa, että käyrän klassinen muoto siirtyy 2 yksikkösegmentillä abskissa-akselia pitkin ja 3 yksikköä ordinaatta-akselia pitkin.

Kuinka rakentaa paraabeli neliöyhtälön avulla

Koululaisten on tärkeää oppia piirtämään paraabeli oikein annettujen parametrien avulla.

Analysoimalla lausekkeita ja yhtälöitä voit nähdä seuraavat asiat:

1. Halutun suoran ja ordinaattavektorin leikkauspisteen arvo on yhtä suuri kuin c.
2. Kaikki kaavion pisteet (x-akselia pitkin) ovat symmetrisiä suhteessa funktion pääääripisteeseen.

Lisäksi leikkauspisteet OX:n kanssa voidaan löytää tuntemalla tällaisen funktion diskriminantti (D):

D = (b2-4*a*c).

Tätä varten sinun on rinnastettava lauseke nollaan.

Paraabelin juurten läsnäolo riippuu tuloksesta:

• D ˃ 0, sitten x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, sitten x 1, 2 = -b/(2*a);
• D ˂ 0, silloin ei ole leikkauspisteitä vektorin OX kanssa.

Saamme algoritmin paraabelin rakentamiseen:

• määritä oksien suunta;
• löytää kärjen koordinaatit;
• etsi leikkauspiste ordinaatta-akselin kanssa;
• etsi leikkauspiste x-akselin kanssa.

Esimerkki 1.

Annettu funktio y = x 2 - 5 * x + 4. On tarpeen rakentaa paraabeli. Noudatamme algoritmia:

1. a = 1, joten oksat on suunnattu ylöspäin;
2. äärimmäiset koordinaatit: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. leikkaa ordinaatta-akselin arvossa y = 4;
4. Etsitään diskriminantti: D = 25 - 16 = 9;
5. juuria etsimässä:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Esimerkki 2.

Funktiolle y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 täytyy rakentaa paraabeli. Toimimme annetun algoritmin mukaan:

1. a = 3, joten oksat on suunnattu ylöspäin;
2. äärikoordinaatit: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. leikkaa y-akselin arvossa y = -1;
4. Etsitään diskriminantti: D = 4 + 12 = 16. Joten juuret ovat:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1; 0);
• X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Saatujen pisteiden avulla voit rakentaa paraabelin.

Suuntaus, epäkeskisyys, paraabelin fokus

Kanonisen yhtälön perusteella F:n fokuksella on koordinaatit (p/2, 0).

Suora AB on suuntaviiva (eräänlainen tietynpituisen paraabelin sointu). Sen yhtälö on: x = -p/2.

Epäkeskisyys (vakio) = 1.

Johtopäätös

Tarkastelimme aihetta, jota opiskelijat opiskelevat lukiossa. Nyt tiedät paraabelin neliöfunktiota katsomalla, kuinka löytää sen kärki, mihin suuntaan haarat suunnataan, onko akseleita pitkin siirtymää, ja kun sinulla on rakennusalgoritmi, voit piirtää sen kaavion.

Kuinka rakentaa paraabeli? On olemassa useita tapoja piirtää neliöfunktion kuvaaja. Jokaisella niistä on hyvät ja huonot puolensa. Harkitse kahta tapaa.

Aloitetaan piirtämällä neliöfunktio muotoa y=x²+bx+c ja y= -x²+bx+c.

Esimerkki.

Piirrä funktio y=x²+2x-3.

Ratkaisu:

y=x²+2x-3 on neliöfunktio. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin. Paraabelin kärjen koordinaatit

Huipulta (-1;-4) rakennetaan kaavio paraabelista y=x² (koordinaattien origosta. (0;0) sijasta - kärki (-1;-4). Alkaen (-1; -4) siirrymme 1 yksikön oikealle ja 1 yksikön ylöspäin, sitten 1 yksikön vasemmalle ja 1 ylöspäin; edelleen: 2 - oikealle, 4 - ylös, 2 - vasemmalle, 4 - ylös; 3 - oikealle, 9 - ylös, 3 - vasemmalle, 9 - ylös. Jos nämä 7 pistettä eivät riitä, niin 4 oikealle, 16 ylös jne.).

Neliöfunktion y= -x²+bx+c kuvaaja on paraabeli, jonka haarat on suunnattu alaspäin. Graafin muodostamiseksi etsitään kärjen koordinaatit ja muodostetaan siitä paraabeli y= -x².

Esimerkki.

Piirrä funktio y= -x²+2x+8.

Ratkaisu:

y= -x²+2x+8 on neliöfunktio. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat alaspäin. Paraabelin kärjen koordinaatit

Ylhäältä rakennamme paraabelin y= -x² (1 - oikealle, 1 - alas; 1 - vasemmalle, 1 - alas; 2 - oikealle, 4 - alas; 2 - vasemmalle, 4 - alas jne.):

Tällä menetelmällä voit rakentaa paraabelin nopeasti eikä aiheuta vaikeuksia, jos osaa piirtää funktiot y=x² ja y= -x². Haitta: jos kärjen koordinaatit ovat murtolukuja, graafia ei ole kovin kätevää rakentaa. Jos haluat tietää kaavion ja Ox-akselin leikkauspisteiden tarkat arvot, sinun on lisäksi ratkaistava yhtälö x²+bx+c=0 (tai -x²+bx+c=0), vaikka nämä pisteet voidaan määrittää suoraan piirustuksesta.

Toinen tapa rakentaa paraabeli on pisteillä, eli voit etsiä kaaviosta useita pisteitä ja piirtää niiden läpi paraabelin (ottaen huomioon, että suora x=xₒ on sen symmetria-akseli). Yleensä tätä varten he ottavat paraabelin kärjen, graafin leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa ja 1-2 lisäpistettä.

Piirrä kuvaaja funktiosta y=x²+5x+4.

Ratkaisu:

y=x²+5x+4 on neliöfunktio. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin. Paraabelin kärjen koordinaatit

eli paraabelin kärki on piste (-2.5; -2.25).

Etsivät . Ox-akselin leikkauspisteessä y=0: x²+5x+4=0. Neliöyhtälön x1=-1, x2=-4 juuret eli saamme kaaviosta kaksi pistettä (-1; 0) ja (-4; 0).

Kuvaajan ja Oy-akselin leikkauspisteessä x=0: y=0²+5∙0+4=4. Saimme pisteen (0; 4).

Kaavion selventämiseksi voit löytää lisäkohdan. Otetaan x=1, sitten y=1²+5∙1+4=10, eli toinen piste kaaviossa on (1; 10). Merkitsemme nämä pisteet koordinaattitasolle. Kun otetaan huomioon paraabelin symmetria sen kärjen kautta kulkevaan suoraan nähden, merkitsemme vielä kaksi pistettä: (-5; 6) ja (-6; 10) ja piirrämme paraabelin niiden läpi:

Piirrä funktio y= -x²-3x.

Ratkaisu:

y= -x²-3x on neliöfunktio. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat alaspäin. Paraabelin kärjen koordinaatit

Piste (-1,5; 2,25) on paraabelin ensimmäinen piste.

Kuvaajan leikkauspisteissä x-akselin kanssa y=0, eli ratkaisemme yhtälön -x²-3x=0. Sen juuret ovat x=0 ja x=-3, eli (0;0) ja (-3;0) - kaksi pistettä lisää kuvaajassa. Piste (o; 0) on myös paraabelin ja ordinaatta-akselin leikkauspiste.

Kun x=1 y=-1²-3∙1=-4, eli (1; -4) on lisäpiste piirtämiseen.

Paraabelin rakentaminen pisteistä on työvoimavaltaisempi menetelmä verrattuna ensimmäiseen. Jos paraabeli ei leikkaa Ox-akselia, tarvitaan lisää lisäpisteitä.

Ennen kuin jatkamme muotoa y=ax²+bx+c olevien toisen asteen funktioiden graafien rakentamista, tarkastellaan funktioiden kuvaajien rakentamista geometrisia muunnoksia käyttäen. On myös kätevintä rakentaa funktioiden graafit muotoa y=x²+c käyttämällä yhtä näistä muunnuksista — rinnakkaiskäännöstä.

Luokka: |