Kvadratna funkcija. Vizualni vodič (2020). Konstruiranje parabole u programu Microsoft Excel Kako nacrtati parabolu pomoću jednadžbe

Predlažem da ostali čitatelji značajno prošire svoje školsko znanje o parabolama i hiperbolama. Hiperbola i parabola - jesu li jednostavne? ...Jedva čekam =)

Hiperbola i njezina kanonska jednadžba

Opća struktura prezentacije materijala sličit će prethodnom odlomku. Počnimo s općim konceptom hiperbole i zadatkom njezine konstrukcije.

Kanonska jednadžba hiperbole ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi. Imajte na umu da, za razliku od elipsa, ovdje se ne nameće uvjet, odnosno vrijednost "a" može biti manja od vrijednosti "be".

Moram reći, sasvim neočekivano... jednadžba “školske” hiperbole ni približno ne sliči kanonskom zapisu. No ova će nas misterija još morati pričekati, no za sada se počešimo po glavi i sjetimo se koje karakteristične značajke ima dotična krivulja? Raširimo to na ekranu naše mašte graf funkcije ….

Hiperbola ima dvije simetrične grane.

Nije loš napredak! Svaka hiperbola ima ova svojstva, a sada ćemo s iskrenim divljenjem pogledati dekolte ove linije:

Primjer 4

Konstruirajte hiperbolu zadanu jednadžbom

Riješenje: u prvom koraku ovu jednadžbu dovodimo u kanonski oblik. Zapamtite standardni postupak. S desne strane trebate dobiti "jedan", tako da obje strane izvorne jednadžbe podijelimo s 20:

Ovdje možete smanjiti oba razlomka, ali je optimalnije učiniti svaki od njih trokatnica:

I tek nakon toga izvršite smanjenje:

Odaberite kvadrate u nazivnicima:

Zašto je bolje transformacije provoditi na ovaj način? Uostalom, razlomci na lijevoj strani mogu se odmah smanjiti i dobiti. Činjenica je da smo u razmatranom primjeru imali malo sreće: broj 20 djeljiv je i s 4 i s 5. U općem slučaju, takav broj ne funkcionira. Razmotrimo, na primjer, jednadžbu. Ovdje s djeljivošću sve je tužnije i bez trokatnice frakcije više nije moguće:

Dakle, poslužimo se plodom našeg rada - kanonskom jednadžbom:

Kako konstruirati hiperbolu?

Postoje dva pristupa konstruiranju hiperbole - geometrijski i algebarski.
S praktičnog gledišta, crtanje šestarom... rekao bih čak i utopijski, pa je mnogo isplativije opet si pomoći jednostavnim izračunima.

Preporučljivo je pridržavati se sljedećeg algoritma, prvo gotov crtež, a zatim komentari:

U praksi se često susreće kombinacija rotacije za proizvoljan kut i paralelne translacije hiperbole. O ovoj se situaciji raspravlja u razredu Svođenje jednadžbe pravca 2. reda na kanonski oblik.

Parabola i njezina kanonska jednadžba

Gotovo je! Ona je ta. Spreman otkriti mnoge tajne. Kanonska jednadžba parabole ima oblik , gdje je realan broj. Lako je primijetiti da parabola u svom standardnom položaju “leži na boku” i da joj je vrh u ishodištu. U ovom slučaju funkcija određuje gornju granu ove linije, a funkcija – donju granu. Očito je da je parabola simetrična u odnosu na os. Zapravo, zašto se mučiti:

Primjer 6

Konstruiraj parabolu

Riješenje: vrh je poznat, idemo pronaći dodatne točke. Jednadžba određuje gornji luk parabole, jednadžba određuje donji luk.

Kako bismo skratili snimanje izračuna, izvršit ćemo izračune "jednim kistom":

Za kompaktno snimanje, rezultati bi se mogli sažeti u tablicu.

Prije izvođenja elementarnog crteža od točke do točke, formulirajmo strogi

definicija parabole:

Parabola je skup svih točaka u ravnini koje su jednako udaljene od dane točke i danog pravca koji ne prolazi kroz točku.

Točka se zove usredotočenost parabole, ravna linija - ravnateljice (piše se s jednim "es") parabole. Konstanta "pe" kanonske jednadžbe naziva se žarišni parametar, što je jednako udaljenosti od fokusa do direktrise. U ovom slučaju . U ovom slučaju žarište ima koordinate, a direktrisa je dana jednadžbom.
U našem primjeru:

Definicija parabole još je jednostavnija za razumijevanje od definicija elipse i hiperbole. Za bilo koju točku na paraboli, duljina segmenta (udaljenost od žarišta do točke) jednaka je duljini okomice (udaljenost od točke do direktrise):

Čestitamo! Mnogi od vas danas su došli do pravog otkrića. Ispada da hiperbola i parabola uopće nisu grafovi "običnih" funkcija, već imaju izraženo geometrijsko podrijetlo.

Očito, kako se žarišni parametar povećava, grane grafa će se "podizati" gore-dolje, približavajući se beskonačno blizu osi. Kako se vrijednost "pe" smanjuje, oni će se početi sabijati i rastezati duž osi

Ekscentricitet bilo koje parabole jednak je jedinici:

Rotacija i paralelna translacija parabole

Parabola je jedna od najčešćih linija u matematici i morat ćete je graditi jako često. Stoga obratite posebnu pozornost na posljednji odlomak lekcije, gdje ću raspravljati o tipičnim opcijama za lokaciju ove krivulje.

! Bilješka : kao iu slučajevima s prethodnim krivuljama, ispravnije je govoriti o rotaciji i paralelnoj translaciji koordinatnih osi, ali će se autor ograničiti na pojednostavljenu verziju prikaza kako bi čitatelj imao osnovno razumijevanje ovih transformacija.

Funkcija izgradnje

Nudimo vam uslugu za izradu grafova funkcija na mreži, čija sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor s grafikonom, možete sakriti lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.

Prednosti online crtanja grafikona

• Vizualni prikaz unesenih funkcija
• Izgradnja vrlo složenih grafikona
• Konstrukcija grafova navedenih implicitno (na primjer, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Mogućnost spremanja grafikona i primanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
• Kontrola mjerila, boja linija
• Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenjem konstanti
• Iscrtavanje nekoliko grafova funkcija istovremeno
• Crtanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))

S nama je jednostavno izgraditi grafikone različite složenosti online. Izgradnja se vrši trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka presjeka funkcija, za prikazivanje grafova za daljnje premještanje u Word dokument kao ilustracije pri rješavanju problema, te za analizu karakteristika ponašanja grafova funkcija. Optimalan preglednik za rad s grafikonima na ovoj web stranici je Google Chrome. Ispravan rad nije zajamčen pri korištenju drugih preglednika.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Vjerojatno svi znaju što je parabola. Ali u nastavku ćemo pogledati kako ga ispravno i kompetentno koristiti pri rješavanju raznih praktičnih problema.

Najprije ćemo navesti osnovne pojmove koje algebra i geometrija daju ovom pojmu. Razmotrimo sve moguće vrste ovog grafa.

Otkrijmo sve glavne karakteristike ove funkcije. Razumimo osnove konstrukcije krivulje (geometrije). Naučimo kako pronaći vrh i druge osnovne vrijednosti grafikona ove vrste.

Otkrijmo: kako pravilno konstruirati željenu krivulju pomoću jednadžbe, na što trebate obratiti pozornost. Pogledajmo glavnu praktičnu primjenu ove jedinstvene vrijednosti u ljudskom životu.

Što je parabola i kako izgleda?

Algebra: Ovaj izraz se odnosi na graf kvadratne funkcije.

Geometrija: ovo je krivulja drugog reda koja ima niz specifičnih značajki:

Jednadžba kanonske parabole

Na slici je prikazan pravokutni koordinatni sustav (XOY), ekstremum, smjer grana funkcije crtanje po apscisnoj osi.

Kanonička jednadžba je:

y 2 = 2 * p * x,

gdje je koeficijent p fokusni parametar parabole (AF).

U algebri će se pisati drugačije:

y = a x 2 + b x + c (prepoznatljivi uzorak: y = x 2).

Svojstva i graf kvadratne funkcije

Funkcija ima os simetrije i središte (ekstremum). Domena definicije su sve vrijednosti apscisne osi.

Raspon vrijednosti funkcije – (-∞, M) ili (M, +∞) ovisi o smjeru grana krivulje. Parametar M ovdje označava vrijednost funkcije na vrhu retka.

Kako odrediti kamo su usmjereni ogranci parabole

Da biste pronašli smjer krivulje ove vrste iz izraza, trebate odrediti predznak ispred prvog parametra algebarskog izraza. Ako je a ˃ 0, tada su usmjerene prema gore. Ako je obrnuto, dolje.

Kako pronaći vrh parabole pomoću formule

Pronalaženje ekstrema je glavni korak u rješavanju mnogih praktičnih problema. Naravno, možete otvoriti posebne online kalkulatore, ali bolje je da to možete učiniti sami.

Kako to odrediti? Postoji posebna formula. Kada b nije jednako 0, trebamo tražiti koordinate te točke.

Formule za pronalaženje vrha:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Primjer.

Postoji funkcija y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Nađimo vrhove te funkcije.

Za ovakvu liniju:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Dobivamo koordinate vrha (-2, -41).

Pomak parabole

Klasičan slučaj je kada su u kvadratnoj funkciji y = a x 2 + b x + c drugi i treći parametar jednaki 0, a = 1 - vrh je u točki (0; 0).

Kretanje po apscisnoj ili ordinatnoj osi nastaje zbog promjena parametara b odnosno c. Pravac na ravnini bit će pomaknut točno za onoliko jedinica koliko je vrijednost parametra.

Primjer.

Imamo: b = 2, c = 3.

To znači da će se klasični oblik krivulje pomaknuti za 2 jedinična segmenta po apscisnoj osi i za 3 po ordinatnoj osi.

Kako sastaviti parabolu koristeći kvadratnu jednadžbu

Važno je da školarci nauče kako pravilno nacrtati parabolu koristeći zadane parametre.

Analizirajući izraze i jednadžbe, možete vidjeti sljedeće:

1. Točka presjeka željene linije s vektorom ordinata imat će vrijednost jednaku c.
2. Sve točke grafa (duž x-osi) bit će simetrične u odnosu na glavni ekstrem funkcije.

Osim toga, sjecišne točke s OX mogu se pronaći poznavanjem diskriminante (D) takve funkcije:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Da biste to učinili, morate izraz izjednačiti s nulom.

Prisutnost korijena parabole ovisi o rezultatu:

• D ˃ 0, tada je x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, tada je x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, tada nema točaka sjecišta s vektorom OX.

Dobivamo algoritam za konstrukciju parabole:

• odrediti smjer grana;
• pronaći koordinate vrha;
• pronaći sjecište s osi ordinata;
• pronađite sjecište s x-osi.

Primjer 1.

Zadana je funkcija y = x 2 - 5 * x + 4. Potrebno je konstruirati parabolu. Slijedimo algoritam:

1. a = 1, dakle, grane su usmjerene prema gore;
2. koordinate ekstrema: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. siječe se s osi ordinata u vrijednosti y = 4;
4. nađimo diskriminantu: D = 25 - 16 = 9;
5. u potrazi za korijenima:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Primjer 2.

Za funkciju y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 trebate konstruirati parabolu. Djelujemo prema zadanom algoritmu:

1. a = 3, dakle, grane su usmjerene prema gore;
2. ekstremne koordinate: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. presijecat će se s y-osi na vrijednosti y = -1;
4. nađimo diskriminant: D = 4 + 12 = 16. Dakle, korijeni su:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Pomoću dobivenih točaka možete konstruirati parabolu.

Direktrisa, ekscentricitet, fokus parabole

Na temelju kanonske jednadžbe, žarište F ima koordinate (p/2, 0).

Pravac AB je direktrisa (vrsta tetive parabole određene duljine). Njegova jednadžba je: x = -p/2.

Ekscentricitet (konstanta) = 1.

Zaključak

Pogledali smo temu koju učenici obrađuju u srednjoj školi. Sada znate, gledajući kvadratnu funkciju parabole, kako pronaći njezin vrh, u kojem će smjeru biti usmjerene grane, postoji li pomak duž osi i, imajući algoritam konstrukcije, možete nacrtati njezin grafikon.

Kako izgraditi parabolu? Postoji nekoliko načina za crtanje grafa kvadratne funkcije. Svaki od njih ima svoje prednosti i nedostatke. Razmotrimo dva načina.

Počnimo iscrtavanjem kvadratne funkcije oblika y=x²+bx+c i y= -x²+bx+c.

Primjer.

Grafički nacrtajte funkciju y=x²+2x-3.

Riješenje:

y=x²+2x-3 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema gore. Koordinate vrha parabole

Iz vrha (-1;-4) gradimo graf parabole y=x² (kao iz ishodišta koordinata. Umjesto (0;0) - vrh (-1;-4). Iz (-1; -4) idemo udesno za 1 jedinicu i gore za 1 jedinicu, zatim lijevo za 1 i gore za 1; dalje: 2 - desno, 4 - gore, 2 - lijevo, 4 - gore; 3 - desno, 9 - gore, 3 - lijevo, 9 - gore. Ako ovih 7 točaka nije dovoljno, onda 4 desno, 16 gore itd.).

Graf kvadratne funkcije y= -x²+bx+c je parabola čije su grane usmjerene prema dolje. Da bismo konstruirali graf, tražimo koordinate vrha i iz njih konstruiramo parabolu y= -x².

Primjer.

Grafički nacrtajte funkciju y= -x²+2x+8.

Riješenje:

y= -x²+2x+8 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema dolje. Koordinate vrha parabole

Od vrha gradimo parabolu y= -x² (1 - udesno, 1- dolje; 1 - lijevo, 1 - dolje; 2 - desno, 4 - dolje; 2 - lijevo, 4 - dolje, itd.):

Ova metoda vam omogućuje brzo sastavljanje parabole i ne uzrokuje poteškoće ako znate kako nacrtati graf funkcija y=x² i y= -x². Nedostatak: ako su koordinate vrha frakcijski brojevi, nije baš zgodno graditi graf. Ako trebate znati točne vrijednosti točaka sjecišta grafa s osi Ox, morat ćete dodatno riješiti jednadžbu x²+bx+c=0 (ili -x²+bx+c=0), čak i ako se te točke mogu izravno odrediti iz crteža.

Drugi način konstruiranja parabole je po točkama, odnosno možete pronaći nekoliko točaka na grafu i nacrtati parabolu kroz njih (uzimajući u obzir da je pravac x=xₒ njegova os simetrije). Obično za to uzimaju vrh parabole, točke sjecišta grafa s koordinatnim osima i 1-2 dodatne točke.

Nacrtajte graf funkcije y=x²+5x+4.

Riješenje:

y=x²+5x+4 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema gore. Koordinate vrha parabole

odnosno vrh parabole je točka (-2,5; -2,25).

traže . U točki presjeka s osi Ox y=0: x²+5x+4=0. Korijeni kvadratne jednadžbe x1=-1, x2=-4, odnosno dobili smo dvije točke na grafu (-1; 0) i (-4; 0).

U točki presjeka grafa s osi Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Dobili smo bod (0; 4).

Da biste pojasnili grafikon, možete pronaći dodatnu točku. Uzmimo x=1, zatim y=1²+5∙1+4=10, odnosno druga točka na grafu je (1; 10). Te točke označimo na koordinatnoj ravnini. Uzimajući u obzir simetriju parabole u odnosu na liniju koja prolazi kroz njen vrh, označimo još dvije točke: (-5; 6) i (-6; 10) i kroz njih povučemo parabolu:

Grafički nacrtajte funkciju y= -x²-3x.

Riješenje:

y= -x²-3x je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema dolje. Koordinate vrha parabole

Vrh (-1,5; 2,25) je prva točka parabole.

U točkama presjeka grafa s x-osi y=0, odnosno rješavamo jednadžbu -x²-3x=0. Njegovi korijeni su x=0 i x=-3, odnosno (0;0) i (-3;0) - još dvije točke na grafu. Točka (o; 0) je ujedno i točka presjeka parabole s osi ordinata.

Na x=1 y=-1²-3∙1=-4, to jest (1; -4) je dodatna točka za crtanje.

Konstruiranje parabole iz točaka je radno intenzivnija metoda u usporedbi s prvom. Ako parabola ne siječe os Ox, bit će potrebno više dodatnih točaka.

Prije nego nastavimo konstruirati grafove kvadratnih funkcija oblika y=ax²+bx+c, razmotrimo konstrukciju grafova funkcija pomoću geometrijskih transformacija. Također je najprikladnije konstruirati grafove funkcija oblika y=x²+c pomoću jedne od ovih transformacija — paralelnog prevođenja.

Kategorija: |