Másodfokú függvény. Vizuális útmutató (2020). Parabola felépítése Microsoft Excelben Hogyan rajzoljunk parabolát egyenlet segítségével

Javaslom, hogy a többi olvasó jelentősen bővítse a parabolákkal és hiperbolákkal kapcsolatos iskolai ismereteit. Hiperbola és parabola – egyszerűek? ...alig várom =)

A hiperbola és kanonikus egyenlete

Az anyag bemutatásának általános felépítése az előző bekezdéshez fog hasonlítani. Kezdjük a hiperbola általános fogalmával és a megalkotásának feladatával.

A hiperbola kanonikus egyenlete alakja , ahol pozitív valós számok. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ellentétben ellipszis, a feltétel itt nincs beállítva, vagyis az „a” értéke kisebb lehet, mint a „be” érték.

Meg kell mondanom, egészen váratlanul... az „iskolai” hiperbola egyenlete még csak nem is hasonlít a kanonikus jelölésre. De erre a rejtélyre még várni kell, de egyelőre kapkodjuk a fejünket, és emlékezzünk arra, hogy milyen jellegzetességei vannak a kérdéses görbének? Terítsük szét képzeletünk képernyőjén függvény grafikonja ….

A hiperbolának két szimmetrikus ága van.

Nem rossz előrelépés! Bármely hiperbola rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, és most őszinte csodálattal nézzük ennek a vonalnak a nyakkivágását:

4. példa

Szerkessze meg az egyenlettel megadott hiperbolát!

Megoldás: első lépésben ezt az egyenletet kanonikus formába hozzuk. Kérjük, ne feledje a szabványos eljárást. A jobb oldalon egy „egyet” kell kapnia, ezért az eredeti egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 20-zal:

Itt mindkét frakciót csökkentheti, de optimálisabb mindegyiket elvégezni háromemeletes:

És csak ezután hajtsa végre a csökkentést:

Válassza ki a négyzeteket a nevezőkben:

Miért jobb így végrehajtani az átalakításokat? Hiszen a bal oldali frakciók azonnal csökkenthetők és megszerezhetők. A helyzet az, hogy a vizsgált példában egy kis szerencsénk volt: a 20-as szám osztható 4-gyel és 5-tel is. Általános esetben egy ilyen szám nem működik. Tekintsük például az egyenletet. Itt az oszthatósággal minden szomorúbb és anélkül háromemeletes törtek már nem lehetséges:

Használjuk tehát munkánk gyümölcsét – a kanonikus egyenletet:

Hogyan készítsünk hiperbolát?

Kétféle megközelítés létezik a hiperbola felépítésére: geometriai és algebrai.
Gyakorlati szempontból iránytűvel rajzolni... akár utópisztikusnak is mondanám, így sokkal kifizetődőbb ismét egyszerű számításokkal segíteni.

Célszerű betartani a következő algoritmust, először a kész rajzot, majd a megjegyzéseket:

A gyakorlatban gyakran előfordul a hiperbola tetszőleges szöggel történő elforgatásának és párhuzamos transzlációjának kombinációja. Ezt a helyzetet az órán megbeszélik A 2. rendű egyenes egyenlet visszavezetése kanonikus formára.

Parabola és kanonikus egyenlete

Kész van! Ő az egyetlen. Készen áll arra, hogy felfedjen sok titkot. A parabola kanonikus egyenlete alakja , ahol egy valós szám. Könnyen észrevehető, hogy standard helyzetében a parabola „oldalt fekszik”, csúcsa pedig az origóban van. Ebben az esetben a függvény ennek a sornak a felső ágát adja meg, a függvény pedig az alsó ágat. Nyilvánvaló, hogy a parabola szimmetrikus a tengelyre. Tulajdonképpen miért is zavarna:

6. példa

Szerkessz egy parabolát

Megoldás: a csúcs ismert, keressünk további pontokat. Az egyenlet meghatározza a parabola felső ívét, az egyenlet az alsó ívet.

A számítások rögzítésének lerövidítése érdekében a számításokat „egy ecsettel” végezzük:

A kompakt rögzítésnél az eredményeket táblázatban lehetne összefoglalni.

Az elemi pontonkénti rajz elvégzése előtt fogalmazzunk meg egy szigorút

parabola definíciója:

A parabola a sík azon pontjainak halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól és egy adott egyenestől, amely nem megy át a ponton.

A lényeg az ún fókusz parabolák, egyenes - igazgatónő (egy "es"-vel írva) parabolák. A kanonikus egyenlet állandó "pe"-jét nevezzük fókusz paraméter, ami egyenlő a fókusz és a direktix távolságával. Ebben az esetben . Ebben az esetben a fókusznak vannak koordinátái, és a direktrixet az egyenlet adja meg.
Példánkban:

A parabola definícióját még egyszerűbb megérteni, mint az ellipszis és a hiperbola definícióit. A parabola bármely pontja esetén a szakasz hossza (a fókusz és a pont távolsága) egyenlő a merőleges hosszával (a pont és az irányító távolsága):

Gratulálunk! Sokan közületek igazi felfedezést tettek ma. Kiderült, hogy a hiperbola és a parabola egyáltalán nem „hétköznapi” függvények grafikonjai, hanem kifejezett geometriai eredetűek.

Nyilvánvaló, hogy a fókuszparaméter növekedésével a grafikon ágai fel-le „emelkednek”, végtelenül közelítve a tengelyhez. Ahogy a „pe” érték csökken, elkezdenek összenyomódni és nyúlni a tengely mentén

Bármely parabola excentricitása egyenlő az egységgel:

Parabola forgatása és párhuzamos fordítása

A parabola az egyik leggyakoribb vonal a matematikában, és nagyon gyakran kell megépíteni. Ezért kérjük, fordítson különös figyelmet a lecke utolsó bekezdésére, ahol a görbe elhelyezkedésének tipikus lehetőségeit tárgyalom.

! jegyzet : a korábbi görbékhez hasonlóan helyesebb a koordinátatengelyek elforgatásáról és párhuzamos fordításáról beszélni, de a szerző az előadás egyszerűsített változatára szorítkozik, hogy az olvasó alapvetően megértse ezeket a transzformációkat.

Építési funkció

Figyelmébe ajánljuk a függvénygrafikonok online összeállítására szolgáló szolgáltatást, amelynek minden joga a céget illeti Desmos. A bal oldali oszlop segítségével adja meg a függvényeket. Beírhat kézzel vagy az ablak alján található virtuális billentyűzet segítségével. Az ablak grafikonnal való nagyításához elrejtheti a bal oldali oszlopot és a virtuális billentyűzetet is.

Az online térképezés előnyei

• A bevitt funkciók vizuális megjelenítése
• Nagyon összetett grafikonok készítése
• Implicit módon megadott gráfok felépítése (például ellipszis x^2/9+y^2/16=1)
• Lehetőség a diagramok mentésére és a rájuk mutató hivatkozás fogadására, amely mindenki számára elérhetővé válik az interneten
• Skála, vonalszín szabályozása
• Grafikonok pontonkénti ábrázolásának lehetősége, állandók használatával
• Több függvénygrafikon egyidejű ábrázolása
• Polárkoordináták ábrázolása (használjon r és θ(\theta))

Nálunk könnyű különféle bonyolultságú grafikonokat készíteni online. Az építkezés azonnal megtörténik. Igény van a szolgáltatásra a függvények metszéspontjainak megtalálására, gráfok ábrázolására, azok Word dokumentumba történő további áthelyezésére, feladatmegoldáskor illusztrációként, valamint a függvénygráfok viselkedési sajátosságainak elemzésére. Az ezen a weboldalon található diagramok használatához az optimális böngésző a Google Chrome. Más böngészők használata esetén a megfelelő működés nem garantált.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai jellegűeket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Valószínűleg mindenki tudja, mi az a parabola. De megvizsgáljuk, hogyan kell helyesen és hozzáértően használni a különféle gyakorlati problémák megoldása során.

Először vázoljuk fel azokat az alapfogalmakat, amelyeket az algebra és a geometria ad ehhez a kifejezéshez. Tekintsük ennek a grafikonnak az összes lehetséges típusát.

Nézzük meg ennek a funkciónak az összes főbb jellemzőjét. Ismerjük meg a görbeépítés (geometria) alapjait. Tanuljuk meg, hogyan találjuk meg egy ilyen típusú grafikon felső és egyéb alapértékeit.

Nézzük meg: hogyan kell helyesen megszerkeszteni a kívánt görbét az egyenlet segítségével, mire kell figyelni. Nézzük meg ennek az egyedülálló értéknek a fő gyakorlati alkalmazását az emberi életben.

Mi az a parabola és hogyan néz ki?

Algebra: Ez a kifejezés egy másodfokú függvény grafikonjára utal.

Geometria: ez egy másodrendű görbe, amely számos sajátos tulajdonsággal rendelkezik:

Kanonikus parabola egyenlet

Az ábrán egy téglalap alakú koordináta-rendszer (XOY), egy szélső, a függvény ágainak iránya az abszcissza tengely mentén rajzolva.

A kanonikus egyenlet a következő:

y 2 = 2 * p * x,

ahol p együttható a parabola (AF) fókuszparamétere.

Az algebrában másképp lesz írva:

y = a x 2 + b x + c (felismerhető minta: y = x 2).

Másodfokú függvény tulajdonságai és grafikonja

A függvénynek van egy szimmetriatengelye és egy középpontja (extrémum). A meghatározás tartománya az abszcissza tengely összes értéke.

A – (-∞, M) vagy (M, +∞) függvény értéktartománya a görbe ágainak irányától függ. Az M paraméter itt a sor tetején lévő függvény értékét jelenti.

Hogyan határozzuk meg, hová irányulnak a parabola ágai

Egy ilyen típusú görbe irányának meghatározásához egy kifejezésből meg kell határozni az algebrai kifejezés első paramétere előtti előjelet. Ha a ˃ 0, akkor felfelé irányulnak. Ha fordítva, akkor le.

Hogyan találjuk meg a parabola csúcsát a képlet segítségével

A szélsőség megtalálása a fő lépés számos gyakorlati probléma megoldásában. Természetesen megnyithat speciális online számológépeket, de jobb, ha saját maga is meg tudja csinálni.

Hogyan határozható meg? Van egy speciális képlet. Ha b nem egyenlő 0-val, meg kell keresnünk ennek a pontnak a koordinátáit.

Képletek a csúcs megtalálásához:

• x 0 = -b/(2*a);
• y 0 = y (x 0).

Példa.

Van egy y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 függvény. Keressük meg ennek a függvénynek a csúcsait.

Egy ilyen sorhoz:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Megkapjuk a csúcs koordinátáit (-2, -41).

Parabola elmozdulás

A klasszikus eset az, amikor egy y = a x 2 + b x + c másodfokú függvényben a második és a harmadik paraméter 0, és = 1 - a csúcs a (0; 0) pontban van.

Az abszcissza vagy ordináta tengelyek mentén történő mozgás a b, illetve c paraméterek változásának köszönhető. A síkon lévő vonal pontosan a paraméter értékével megegyező számú egységgel tolódik el.

Példa.

Van: b = 2, c = 3.

Ez azt jelenti, hogy a görbe klasszikus formája az abszcissza tengely mentén 2 egységnyi szegmenssel, az ordináta tengelye mentén 3 egységnyi szegmenssel tolódik el.

Hogyan készítsünk parabolát másodfokú egyenlet segítségével

Fontos, hogy az iskolások megtanulják, hogyan kell helyesen rajzolni egy parabolát adott paraméterek segítségével.

A kifejezések és egyenletek elemzésével a következőket láthatja:

1. A kívánt egyenes és az ordinátavektor metszéspontja c-vel egyenlő lesz.
2. A grafikon minden pontja (az x tengely mentén) szimmetrikus lesz a függvény fő szélsőértékéhez képest.

Ezen túlmenően, az OX metszéspontjait megtalálhatjuk egy ilyen függvény diszkriminánsának (D) ismeretében:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Ehhez a kifejezést nullával kell egyenlővé tenni.

A parabola gyökereinek jelenléte az eredménytől függ:

• D ˃ 0, akkor x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, akkor x 1, 2 = -b/(2*a);
• D ˂ 0, akkor nincs metszéspont az OX vektorral.

Megkapjuk a parabola felépítésének algoritmusát:

• határozza meg az ágak irányát;
• keresse meg a csúcs koordinátáit;
• keresse meg a metszéspontot az ordináta tengellyel;
• keresse meg az x tengellyel való metszéspontot.

1. példa

Adott az y = x 2 - 5 * x + 4 függvény. Parabolát kell alkotni. Az algoritmust követjük:

1. a = 1, ezért az ágak felfelé irányulnak;
2. szélső koordináták: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2-5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. metszi az ordináta tengelyt az y = 4 értéknél;
4. keressük meg a diszkriminánst: D = 25 - 16 = 9;
5. gyökereket keresek:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X2 = (5-3)/2 = 1; (10).

2. példa

Az y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 függvényhez parabolát kell alkotnia. A megadott algoritmus szerint járunk el:

1. a = 3, ezért az ágak felfelé irányulnak;
2. szélső koordináták: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. metszi az y tengellyel y = -1 értékben;
4. keressük meg a diszkriminánst: D = 4 + 12 = 16. Tehát a gyökök:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X2 = (2-4)/6 = -1/3; (-1/3; 0).

A kapott pontok felhasználásával parabolát szerkeszthet.

Irány, excentricitás, parabola fókusza

A kanonikus egyenlet alapján F fókuszának koordinátái vannak (p/2, 0).

Az AB egyenes egy irányító (egy bizonyos hosszúságú parabola egyfajta húrja). Egyenlete x = -p/2.

Excentricitás (állandó) = 1.

Következtetés

Megnéztünk egy olyan témát, amelyet a diákok a középiskolában tanulnak. Most már tudja, ha egy parabola másodfokú függvényét nézi, hogyan találja meg a csúcsát, milyen irányba fognak az ágak irányítani, van-e elmozdulás a tengelyek mentén, és szerkesztési algoritmussal megrajzolhatja a grafikonját.

Hogyan építsünk parabolát? A másodfokú függvények ábrázolásának többféle módja van. Mindegyiknek megvannak a maga előnyei és hátrányai. Tekintsünk két módot.

Kezdjük egy y=x²+bx+c és y= -x²+bx+c alakú másodfokú függvény ábrázolásával.

Példa.

Ábrázolja az y=x²+2x-3 függvényt.

Megoldás:

y=x²+2x-3 egy másodfokú függvény. A grafikon felfelé ágazó parabola. Parabola csúcskoordináták

A (-1;-4) csúcsból felépítjük az y=x² parabola gráfját (mint a koordináták origójából. (0;0) helyett - csúcs (-1;-4). A (-1; -4) 1 egységgel jobbra és 1 egységgel felfelé, majd 1-gyel balra és 1-gyel felfelé; tovább: 2 - jobbra, 4 - felfelé, 2 - balra, 4 - felfelé; 3 - jobbra, 9 - felfelé, 3 - balra, 9 - felfelé. Ha ez a 7 pont nem elég, akkor 4 jobbra, 16 felfelé stb.).

Az y= -x²+bx+c másodfokú függvény grafikonja egy parabola, melynek ágai lefelé irányulnak. A gráf felépítéséhez meg kell keresni a csúcs koordinátáit, és megszerkeszteni belőle egy y= -x² parabolát.

Példa.

Ábrázolja az y= -x²+2x+8 függvényt.

Megoldás:

y= -x²+2x+8 egy másodfokú függvény. A grafikon lefelé ágazó parabola. Parabola csúcskoordináták

Felülről építünk egy y= -x² parabolát (1 - jobbra, 1 - le; 1 - balra, 1 - le; 2 - jobbra, 4 - le; 2 - balra, 4 - le, stb.):

Ez a módszer lehetővé teszi a parabola gyors felépítését, és nem okoz nehézséget, ha tudja, hogyan kell ábrázolni az y=x² és y= -x² függvényeket. Hátránya: ha a csúcs koordinátái törtszámok, akkor nem túl kényelmes gráfot építeni. Ha tudnia kell a grafikon és az Ox tengellyel való metszéspontjainak pontos értékét, akkor ezenkívül meg kell oldania az x²+bx+c=0 (vagy -x²+bx+c=0) egyenletet, még akkor is, ha ezek a pontok a rajzból közvetlenül meghatározhatók.

Egy másik módszer a parabola megszerkesztésére a pontok alapján, vagyis a grafikonon több pontot megkereshetünk, és azokon keresztül rajzolhatunk egy parabolát (figyelembe véve, hogy az x=xₒ egyenes a szimmetriatengelye). Általában ehhez veszik a parabola csúcsát, a gráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjait és 1-2 további pontot.

Rajzolja meg az y=x²+5x+4 függvény grafikonját.

Megoldás:

y=x²+5x+4 egy másodfokú függvény. A grafikon felfelé ágazó parabola. Parabola csúcskoordináták

vagyis a parabola csúcsa a pont (-2,5; -2,25).

Keres . Az Ox tengellyel való metszéspontban y=0: x²+5x+4=0. Az x1=-1, x2=-4 másodfokú egyenlet gyökei, azaz két pontot kaptunk a grafikonon (-1; 0) és (-4; 0).

A gráf Oy tengellyel való metszéspontjában x=0: y=0²+5∙0+4=4. Megkaptuk a pontot (0; 4).

A grafikon tisztázása érdekében további pontot találhat. Vegyük x=1, majd y=1²+5∙1+4=10, vagyis a gráf másik pontja (1; 10). Ezeket a pontokat jelöljük a koordinátasíkon. Figyelembe véve a parabola szimmetriáját a csúcsán áthaladó egyeneshez képest, még két pontot jelölünk ki: (-5; 6) és (-6; 10) és ezeken keresztül rajzolunk egy parabolát:

Ábrázolja az y= -x²-3x függvényt.

Megoldás:

y= -x²-3x egy másodfokú függvény. A grafikon lefelé ágazó parabola. Parabola csúcskoordináták

A csúcs (-1,5; 2,25) a parabola első pontja.

Az x tengelyű gráf metszéspontjaiban y=0, azaz az -x²-3x=0 egyenletet oldjuk meg. Gyöke x=0 és x=-3, azaz (0;0) és (-3;0) - még két pont a grafikonon. Az (o; 0) pont egyben a parabola metszéspontja az ordináta tengellyel.

Az x=1-nél y=-1²-3∙1=-4, azaz (1; -4) egy további pont az ábrázoláshoz.

A pontokból parabola felépítése munkaigényesebb módszer az elsőhöz képest. Ha a parabola nem metszi az Ox tengelyt, több további pontra lesz szükség.

Mielőtt folytatnánk az y=ax²+bx+c formájú másodfokú függvények gráfjainak készítését, nézzük meg a függvények gráfjainak geometriai transzformációkkal történő felépítését. Szintén a legkényelmesebb az y=x²+c formájú függvények gráfjainak elkészítése ezen transzformációk valamelyikével – a párhuzamos fordítással.

Kategória: |