Punktakselerasjon for alle tre måter å akselerere bevegelse på

Akselerasjonen til et punkt karakteriserer endringshastigheten i størrelsen og retningen til punktets hastighet.

1. Akselerasjon av et punkt når du spesifiserer dets bevegelse på en vektor måte

akselerasjonsvektoren til et punkt er lik den første deriverte av hastigheten eller den andre deriverte av radiusvektoren til punktet med hensyn til tid. Akselerasjonsvektoren er rettet mot konkaviteten til kurven

2. Akselerasjon av et punkt når du spesifiserer dets bevegelse ved hjelp av koordinatmetoden

Størrelsen og retningen til akselerasjonsvektoren bestemmes fra relasjonene:

3. Bestemmelse av akselerasjon når dens bevegelse spesifiseres på en naturlig måte

Naturøkser og naturlig trihedron

Naturlige økser. Kurvatur karakteriserer graden av krumning (krumning) til en kurve. Dermed har en sirkel en konstant krumning, som måles med verdien K, den resiproke av radiusen,

Jo større radius, jo mindre krumning, og omvendt. En rett linje kan betraktes som en sirkel med en uendelig stor radius og en krumning på null. Punktet representerer en sirkel med radius R = 0 og har uendelig stor krumning.

En vilkårlig kurve har variabel krumning. Ved hvert punkt i en slik kurve kan du velge en sirkel med en radius hvis krumning er lik kurvaturen til kurven i et gitt punkt M (fig. 9.2). Mengden kalles krumningsradius ved et gitt punkt på kurven. Aksen rettet tangentielt i bevegelsesretningen og aksen rettet radialt til krumningssenteret og kalt normalformen de naturlige koordinataksene.

Normal og tangentiell akselerasjon av et punkt

På den naturlige måten å definere bevegelse på, er akselerasjonen til et punkt lik den geometriske summen av to vektorer, hvorav den ene er rettet langs hovednormalen og kalles normal akselerasjon, og den andre er rettet langs en tangent og kalles tangentiell akselerasjon av punktet.

Projeksjonen av akselerasjonen til et punkt på hovednormalen er lik kvadratet på modulen til kjedsomhetshastigheten delt på krumningsradiusen til banen ved det tilsvarende punktet. Den normale akselerasjonen til et punkt er alltid rettet mot midten av krumningen av banen og er lik denne projeksjonen.

Endringen i hastighetsmodulo er preget av tangentiell (tangensiell) akselerasjon.

de. projeksjonen av akselerasjonen til et punkt på tangenten er lik den andre deriverte av buekoordinaten til punktet i forhold til tid eller den første deriverte av den algebraiske verdien av punktets hastighet i forhold til tid.

Denne projeksjonen har et plusstegn hvis retningene til tangentiell akselerasjon og enhetsvektoren faller sammen, og et minustegn hvis de er motsatte.

Således, i tilfelle av en naturlig metode for å spesifisere bevegelse, når banen til et punkt og følgelig dets krumningsradius er kjent? på ethvert punkt og bevegelsesligningen, kan du finne projeksjonene av punktets akselerasjon på de naturlige aksene:

Hvis a > 0 og > 0 eller a< 0 и < 0, то движение ускоренное и вектор а направлен в сторону вектора скорости. Если а < 0 и >0 eller a > 0 og< 0, то движение замедленное и вектор а направлен в сторону, противоположную вектору скорости

Spesielle tilfeller.

1. Hvis et punkt beveger seg rettlinjet og ujevnt, så = , og følgelig = 0, a = a.

2. Hvis et punkt beveger seg rettlinjet og jevnt, = 0, a = 0 og a = 0.

3. Hvis et punkt beveger seg jevnt langs en buet bane, så er a = 0 og a = . Med jevn krumlinjet bevegelse av et punkt har bevegelsesloven formen s = t. Det er tilrådelig å tildele en positiv referanseretning i oppgaver avhengig av spesifikke forhold. I tilfellet når 0 = 0, får vi = gt og. Ofte i problemer brukes formelen (når en kropp faller fra en høyde H uten en starthastighet)

Konklusjon: normal akselerasjon eksisterer bare ved kurvelinje

32. Klassifisering av bevegelsen til et punkt ved dets akselerasjon

hvis normal- og tangentiell akselerasjon til et punkt i løpet av en viss tidsperiode er lik null, vil verken retningen eller størrelsen på hastigheten endres i løpet av dette intervallet, dvs. punktet beveger seg jevnt i en rett linje og akselerasjonen er null.

hvis den normale akselerasjonen i en viss tidsperiode ikke er null og den tangentielle akselerasjonen til et punkt er null, endres hastighetsretningen uten å endre modulen, dvs. punktet beveger seg krumlinjet jevnt og akselerasjonsmodulen.

Hvis det er på et enkelt tidspunkt, beveger punktet seg ikke jevnt, og i dette øyeblikket har hastighetsmodulen en maksimal, minimum eller minste hastighet av monoton endring.

hvis den normale akselerasjonen til et punkt i en viss tidsperiode er null og tangentakselerasjonen ikke er null, endres ikke hastighetens retning, men størrelsen endres, dvs. punktet beveger seg ujevnt i en rett linje. Punktakselerasjonsmodul i dette tilfellet

Dessuten, hvis retningene til hastighetsvektorene sammenfaller, akselereres bevegelsen til punktet, og hvis de ikke sammenfaller, er bevegelsen til punktet sakte.

Hvis det på et tidspunkt, beveger punktet seg ikke rettlinjet, men passerer infleksjonspunktet til banen eller hastighetsmodulen blir null.

Hvis verken normal- eller tangentiell akselerasjon i en viss tidsperiode er lik null, endres både retningen og størrelsen på hastigheten, dvs. punktet gjør en krumlinjet ujevn bevegelse. Punktakselerasjonsmodul

Videre, hvis retningene til hastighetsvektorene faller sammen, akselereres bevegelsen, og hvis de er motsatte, er bevegelsen sakte.

Hvis den tangentielle akselerasjonsmodulen er konstant, dvs. , så endres modulen til punktets hastighet proporsjonalt med tiden, dvs. punktet gjennomgår jevn bevegelse. Og så

Formel for hastigheten til jevnt variabel bevegelse av et punkt;

Ligning for jevn bevegelse av et punkt

Akselerasjon nedbrytning a (t) (\displaystyle \mathbf (a) (t)\ \ ) til tangentiell og normal a n (\displaystyle \mathbf (a)_(n)); (τ (\displaystyle \mathbf (\tau) )- enhet tangens vektor).

Tangentiell akselerasjon- akselerasjonskomponent rettet tangentielt til bevegelsesbanen. Karakteriserer endringen i hastighetsmodulen i motsetning til normalkomponenten, som karakteriserer endringen i hastighetsretningen. Tangentiell akselerasjon er lik produktet av enhetsvektoren rettet langs bevegelseshastigheten og den deriverte av hastighetsmodulen med hensyn til tid. Dermed rettes den i samme retning som hastighetsvektoren under akselerert bevegelse (positiv derivert) og i motsatt retning under sakte bevegelse (negativ derivert).

Vanligvis indikert med symbolet som er valgt for akselerasjon, med tillegg av et subskript som indikerer den tangentielle komponenten: a τ (\displaystyle \mathbf (a) _(\tau )\ \ ) eller a t (\displaystyle \mathbf (a)_(t)\ \ ), w τ (\displaystyle \mathbf (w) _(\tau )\ \ ),u τ (\displaystyle \mathbf (u)_(\tau )\ \ ) etc.

Noen ganger er det ikke en vektorform som brukes, men en skalar - a τ (\displaystyle a_(\tau )\ \ ), som angir projeksjonen av den totale akselerasjonsvektoren på enhetsvektoren til tangenten til banen, som tilsvarer ekspansjonskoeffisienten langs den medfølgende basis.

Encyklopedisk YouTube

• 1 / 5

  Størrelsen på tangentiell akselerasjon som en projeksjon av akselerasjonsvektoren på tangenten til banen kan uttrykkes som følger:

  a τ = d v d t , (\displaystyle a_(\tau )=(\frac (dv)(dt)),)

  Hvor v = d l / d t (\displaystyle v\ =dl/dt)- Bakkehastighet langs banen, sammenfallende med den absolutte verdien av den øyeblikkelige hastigheten i et gitt øyeblikk.

  Hvis vi bruker notasjonen for enheten tangentvektoren e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )\ ), så kan vi skrive tangentiell akselerasjon i vektorform:

  a τ = d v d t e τ . (\displaystyle \mathbf (a) _(\tau )=(\frac (dv)(dt))\mathbf (e) _(\tau ).)

  Konklusjon

  Konklusjon 1

  Uttrykket for tangentiell akselerasjon kan finnes ved å differensiere med hensyn til tid hastighetsvektoren, presentert i formen v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) gjennom enhetstangensvektoren e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n = , (\fma (c) v) )(dt))=(\frac (d(v\,\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) ) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\ mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))= (\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ ,)

  hvor det første leddet er tangentiell akselerasjon, og det andre er normalakselerasjonen.

  Notasjonen som brukes her er e n (\displaystyle e_(n)\ ) for en enhetsvektor normal til banen og l (\displaystyle l\ )- for gjeldende banelengde ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); den siste overgangen bruker også det åpenbare

  d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )

  og, fra geometriske betraktninger,

  d e τ d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).)

  Konklusjon 2

  Hvis banen er jevn (som antas), så:

  Begge følger av at vinkelen til vektoren til tangenten ikke vil være lavere enn første orden i . Herfra følger den ønskede formelen umiddelbart.

  Mindre strengt tatt, projeksjon v (\displaystyle \mathbf (v)\ ) til tangenten ved liten d t (\displaystyle dt\ ) vil praktisk talt falle sammen med lengden på vektoren v (\displaystyle \mathbf (v)\ ), siden avviksvinkelen til denne vektoren fra tangenten er liten d t (\displaystyle dt\ ) er alltid liten, noe som betyr at cosinus til denne vinkelen kan betraktes som lik enhet.

  Notater

  Den absolutte verdien av tangentiell akselerasjon avhenger bare av bakkeakselerasjonen, sammenfallende med dens absolutte verdi, i motsetning til den absolutte verdien av normal akselerasjon, som ikke avhenger av bakkeakselerasjonen, men avhenger av bakkehastigheten.

  dvs. den er lik den første deriverte med hensyn til tid for hastighetsmodulen, og bestemmer derved hastigheten for endring av hastighet i modulen.

  Den andre komponenten av akselerasjon, lik

  kalt normal komponent av akselerasjon og er rettet langs normalen til banen til midten av krumningen (derfor kalles den også sentripetal akselerasjon).

  Så, tangentiell akselerasjonskomponenten karakteriserer hastighet for endring av hastighet modulo(rettet tangentielt til banen), og normal akselerasjonskomponent - hastighet for endring av hastighet i retning(rettet mot midten av krumningen av banen).

  Avhengig av de tangentielle og normale komponentene til akselerasjon, kan bevegelse klassifiseres som følger:

  1) , og n = 0 - rettlinjet jevn bevegelse;

  2) , og n = 0 - rettlinjet jevn bevegelse. Med denne typen bevegelser

  Hvis den første tiden t 1 =0, og starthastigheten v 1 =v 0 angir da t 2 =t Og v 2 =v, vi får hvor fra

  Ved å integrere denne formelen over området fra null til et vilkårlig tidspunkt t, vi finner at lengden på banen reist av et punkt i tilfelle av jevnt variabel bevegelse

  · 3) , og n = 0 - lineær bevegelse med variabel akselerasjon;

  · 4) , og n = konst. Når hastigheten ikke endres i absolutt verdi, men endres i retning. Fra formelen a n =v 2 /r det følger at krumningsradiusen må være konstant. Derfor er den sirkulære bevegelsen ensartet;

  · 5) , - jevn krumlinjet bevegelse;

  · 6) , - krumlinjet jevn bevegelse;

  · 7) , - krumlinjet bevegelse med variabel akselerasjon.

  2) Et stivt legeme som beveger seg i tredimensjonalt rom kan ha maksimalt seks frihetsgrader: tre translasjons- og tre rotasjonsgrader

  Elementær vinkelforskyvning er en vektor rettet langs aksen i henhold til regelen for høyre skrue og numerisk lik vinkelen

  Vinkelhastighet er en vektormengde lik den første deriverte av rotasjonsvinkelen til et legeme i forhold til tid:

  Enheten er radian per sekund (rad/s).

  Vinkelakselerasjon er en vektormengde lik den første deriverte av vinkelhastigheten med hensyn til tid:

  Når et legeme roterer rundt en fast akse, blir vinkelakselerasjonsvektoren rettet langs rotasjonsaksen mot vektoren for det elementære inkrementet av vinkelhastighet. Når bevegelsen akselereres, er vektoren codirectional til vektoren (fig. 8), når den er langsom, er den motsatt av den (fig. 9).

  Tangentiell komponent av akselerasjon

  Normal komponent av akselerasjon

  Når et punkt beveger seg langs en kurve, blir den lineære hastigheten rettet

  tangent til kurven og modulo lik produktet

  vinkelhastighet i forhold til krumningsradiusen til kurven (forbindelse)

  3) Newtons første lov: hvert materielle punkt (kropp) opprettholder en tilstand av hvile eller ensartet rettlinjet bevegelse inntil påvirkning fra andre kropper tvinger den til å endre denne tilstanden. Ønsket til en kropp om å opprettholde en tilstand av hvile eller ensartet rettlinjet bevegelse kalles treghet. Derfor kalles også Newtons første lov treghetsloven.

  Mekanisk bevegelse er relativ, og dens natur avhenger av referanserammen. Newtons første lov er ikke oppfylt i alle referanserammer, og de systemene som den er oppfylt i forhold til kalles treghetsreferansesystemer. Et treghetsreferansesystem er et referansesystem i forhold til hvilket materialet peker, fri for ytre påvirkninger, enten i ro eller beveger seg jevnt og i en rett linje. Newtons første lov sier at det eksisterer treghetsreferanserammer.

  Newtons andre lov - den grunnleggende loven om dynamikken til translasjonsbevegelse - svarer på spørsmålet om hvordan den mekaniske bevegelsen til et materiell punkt (kropp) endres under påvirkning av krefter som påføres det.

  Vekt kropp - en fysisk mengde som er en av hovedkarakteristikkene til materie, som bestemmer dens treghet ( inert masse) og gravitasjons ( gravitasjonsmasse) egenskaper. For tiden kan det anses som bevist at treghets- og gravitasjonsmassene er lik hverandre (med en nøyaktighet på minst 10–12 av verdiene deres).

  Så, makt er en vektormengde som er et mål på den mekaniske påvirkningen på et legeme fra andre kropper eller felt, som et resultat av at kroppen får akselerasjon eller endrer form og størrelse.

  Vektor mengde

  numerisk lik produktet av massen til et materialpunkt og dets hastighet og har hastighetsretningen kalles impuls (mengde bevegelse) dette materielle punktet.

  Å erstatte (6.6) med (6.5), får vi

  Dette uttrykket - en mer generell formulering av Newtons andre lov: hastigheten for endring av momentum til et materiell punkt er lik kraften som virker på det. Uttrykket heter bevegelseslikning for et materiell punkt.

  Newtons tredje lov

  Samspillet mellom materielle punkter (kropper) bestemmes Newtons tredje lov: hver handling av materielle punkter (kropper) på hverandre er i naturen av interaksjon; kreftene som materielle punkter virker på hverandre med er alltid like store, motsatt rettet og virker langs den rette linjen som forbinder disse punktene:

  F 12 = – F 21, (7.1)

  hvor F12 er kraften som virker på det første materialpunktet fra det andre;

  F 21 - kraft som virker på det andre materialpunktet fra det første. Disse kreftene påføres annerledes materielle punkter (kropper), alltid handle i par og er krefter av samme art.

  Newtons tredje lov åpner for overgangen fra dynamikk skille materiell peker på dynamikk systemer materielle poeng. Dette følger av det faktum at for et system av materialpunkter reduseres interaksjonen til kreftene til parvis interaksjon mellom materialpunkter.

  Elastisk kraft er en kraft som oppstår under deformasjon av et legeme og motvirker denne deformasjonen.

  Ved elastiske deformasjoner er det potensielt. Den elastiske kraften er av elektromagnetisk natur, og er en makroskopisk manifestasjon av intermolekylær interaksjon. I det enkleste tilfellet av strekk/kompresjon av et legeme, rettes den elastiske kraften motsatt av forskyvningen av legemets partikler, vinkelrett på overflaten.

  Kraftvektoren er motsatt av kroppens deformasjonsretning (forskyvning av molekylene).

  Hookes lov

  I det enkleste tilfellet med endimensjonale små elastiske deformasjoner har formelen for den elastiske kraften formen: hvor k er stivheten til kroppen, x er størrelsen på deformasjonen.

  GRAVITY, en kraft P som virker på ethvert legeme som befinner seg nær jordoverflaten, og definert som den geometriske summen av jordens gravitasjonskraft F og sentrifugalkraften av treghet Q, tatt i betraktning effekten av jordens daglige rotasjon. Tyngdekraftens retning er vertikal på et gitt punkt på jordoverflaten.

  eksistens friksjonskrefter, som forhindrer glidning av kontaktlegemer i forhold til hverandre. Friksjonskrefter avhenger av kroppens relative hastigheter.

  Det er ekstern (tørr) og intern (flytende eller viskøs) friksjon. Ytre friksjon kalles friksjon som oppstår i kontaktplanet til to kontaktlegemer under deres relative bevegelse. Hvis kroppene i kontakt er ubevegelige i forhold til hverandre, snakker de om statisk friksjon, men hvis det er en relativ bevegelse av disse kroppene, så, avhengig av arten av deres relative bevegelse, snakker de om glidende friksjon, rullende eller spinning.

  Intern friksjon kalles friksjon mellom deler av samme legeme, for eksempel mellom forskjellige lag av væske eller gass, hvis hastighet varierer fra lag til lag. I motsetning til ytre friksjon er det ingen statisk friksjon her. Hvis legemer glir i forhold til hverandre og separeres av et lag med viskøs væske (smøremiddel), så oppstår friksjon i smøremiddellaget. I dette tilfellet snakker de om hydrodynamisk friksjon(smøremiddellaget er ganske tykt) og grensefriksjon (tykkelsen på smøremiddellaget er »0,1 mikron eller mindre).

  eksperimentelt etablert følgende lov: glidende friksjonskraft F tr er proporsjonal med kraft N normalt trykk som en kropp virker på en annen:

  F tr = f N ,

  Hvor f- glidefriksjonskoeffisient, avhengig av egenskapene til kontaktflatene.

  f = tga 0.

  Dermed er friksjonskoeffisienten lik tangenten til vinkelen a 0 hvor legemet begynner å gli langs skråplanet.

  For glatte overflater begynner intermolekylær tiltrekning å spille en viss rolle. For dem er det brukt glidende friksjonslov

  F tr = f ist ( N + Sp 0) ,

  Hvor R 0 - ekstra trykk forårsaket av intermolekylære tiltrekningskrefter, som raskt avtar med økende avstand mellom partiklene; S- kontaktområde mellom kropper; f ist - sann koeffisient for glidefriksjon.

  Den rullende friksjonskraften bestemmes i henhold til loven etablert av Coulomb:

  F tr = f Til N/r , (8.1)

  Hvor r- radius til det rullende legemet; f k - rullefriksjonskoeffisient, med dimensjonen dim f k =L. Av (8.1) følger det at rullefriksjonskraften er omvendt proporsjonal med radiusen til rullelegemet.

  Væske (viskøs) er friksjonen mellom et fast stoff og et flytende eller gassformig medium eller dets lag.

  hvor er farten til systemet. Dermed er den tidsderiverte av momentumet til et mekanisk system lik den geometriske summen av de ytre kreftene som virker på systemet.

  Det siste uttrykket er loven om bevaring av momentum: Momentumet til et lukket sløyfesystem er bevart, det vil si at det ikke endres over tid.

  Massesenter(eller treghetssenter) av et system av materielle punkter kalles et imaginært punkt MED, hvis posisjon karakteriserer massefordelingen av dette systemet. Radiusvektoren er lik

  Hvor m jeg Og r jeg- henholdsvis masse og radiusvektor Jeg materialet punkt; n- antall materialpunkter i systemet; – massen til systemet. Sentrum for massehastighet

  Vurderer pi = m jeg v Jeg, en det er en impuls R systemer, kan du skrive

  det vil si at systemets bevegelsesmengde er lik produktet av systemets masse og hastigheten til dets massesenter.

  Ved å erstatte uttrykk (9.2) i ligning (9.1), får vi

  det vil si at systemets massesenter beveger seg som et materialpunkt der massen til hele systemet er konsentrert og som en kraft virker på lik den geometriske summen av alle ytre krefter som påføres systemet. Uttrykk (9.3) er bevegelsesloven til massesenteret.

  I samsvar med (9.2) følger det av loven om bevaring av momentum at massesenteret til et lukket system beveger seg enten rettlinjet og jevnt eller forblir stasjonært.

  5) Kraftmoment F i forhold til et fast punkt OM er en fysisk størrelse bestemt av vektorproduktet til radiusvektoren r trukket fra punktet OM nøyaktig EN bruk av makt, makt F(Fig. 25):

  Her M - pseudovektor, retningen sammenfaller med translasjonsbevegelsesretningen til høyre propell når den roterer fra r til F. Modulus for kraftmomentet

  hvor a er vinkelen mellom r og F; r sina = l- den korteste avstanden mellom kraftens virkelinje og punktet OM -skulder av styrke.

  Kraftmoment om en fast akse z kalt skalar omfanget Mz, lik projeksjonen på denne aksen til vektoren M av kraftmomentet bestemt i forhold til et vilkårlig punkt OM gitt z-akse (fig. 26). Momentverdi M z er ikke avhengig av valg av punktposisjon OM på z-aksen.

  Hvis z-aksen faller sammen med retningen til vektoren M, er kraftmomentet representert som en vektor som sammenfaller med aksen:

  Vi finner den kinetiske energien til et roterende legeme som summen av de kinetiske energiene til dets elementære volumer:

  Ved å bruke uttrykk (17.1) får vi

  Hvor J z - kroppens treghetsmoment i forhold til z-aksen. Dermed den kinetiske energien til et roterende legeme

  Fra en sammenligning av formel (17.2) med uttrykk (12.1) for den kinetiske energien til en kropp som beveger seg translasjonelt (T=mv 2 /2), det følger at treghetsmomentet er mål på kroppens treghet under rotasjonsbevegelse. Formel (17.2) gjelder for et legeme som roterer rundt en fast akse.

  Når det gjelder planbevegelse av et legeme, for eksempel en sylinder som ruller nedover et skråplan uten å gli, er bevegelsesenergien summen av energien til translasjonsbevegelse og rotasjonsenergien:

  Hvor m- massen til det rullende legemet; vc- hastigheten til kroppens massesenter; Jc- treghetsmomentet til et legeme i forhold til en akse som går gjennom massesenteret; w- vinkelhastigheten til kroppen.

  6) For å kvantitativt karakterisere prosessen med energiutveksling mellom samvirkende kropper, introduseres konseptet i mekanikk kraftarbeid. Hvis kroppen beveger seg rett fram og den påvirkes av en konstant kraft F, som danner en viss vinkel  med bevegelsesretningen, så er arbeidet til denne kraften lik produktet av projeksjonen av kraften F s til bevegelsesretningen ( F s= F cos), multiplisert med forskyvningen av kraftpåføringspunktet:

  I det generelle tilfellet kan kraften endre seg både i størrelse og retning, så formel (11.1) kan ikke brukes. Hvis vi imidlertid vurderer den elementære forskyvningen dr, kan kraften F betraktes som konstant, og bevegelsen av punktet for dens påføring kan betraktes som rettlinjet. Elementært arbeid kraft F på forskyvning dr kalles skalar omfanget

  hvor  er vinkelen mellom vektorene F og dr; ds = |dr| - elementær sti; F s - projeksjon av vektor F på vektor dr (fig. 13).

  Kraftarbeid på baneseksjonen fra punktet 1 til punktet 2 lik den algebraiske summen av elementært arbeid på individuelle infinitesimale deler av banen. Denne summen reduseres til integralen

  For å karakterisere hastigheten på utført arbeid, introduseres konseptet makt:

  I løpet av tiden d t kraft F virker Fdr, og kraften utviklet av denne kraften på et gitt tidspunkt

  dvs. den er lik skalarproduktet av kraftvektoren og hastighetsvektoren som påføringspunktet for denne kraften beveger seg med; N- omfanget skalar.

  Enhet for kraft - watt(W): 1 W er effekten som 1 J arbeid utføres med på 1 s (1 W = 1 J/s).

  Kinetisk energi av et mekanisk system er energien til mekanisk bevegelse av dette systemet.

  Kraft F, som virker på en hvilende kropp og får den til å bevege seg, virker, og energien til en kropp i bevegelse øker med mengden arbeid som brukes. Altså arbeid d EN kraft F på banen som kroppen har passert under hastighetsøkningen fra 0 til v, går for å øke den kinetiske energien d T kropper, dvs.

  Ved å bruke Newtons andre lov og multiplisere med forskyvningen dr får vi

  Potensiell energi- mekanisk energi til et system av kropper, bestemt av deres relative posisjon og arten av interaksjonskreftene mellom dem.

  La vekselvirkningen mellom kropper utføres gjennom kraftfelt (for eksempel et felt med elastiske krefter, et felt med gravitasjonskrefter), karakterisert ved at arbeidet som utføres av de virkende kreftene ved å flytte et legeme fra en posisjon til en annen gjør ikke avhengig av banen som denne bevegelsen skjedde, og avhenger kun av start- og sluttposisjonene. Slike felt kalles potensiell, og kreftene som virker i dem er konservative. Hvis arbeidet som utføres av en kraft avhenger av banen til kroppen beveger seg fra ett punkt til et annet, kalles en slik kraft dissipative; et eksempel på dette er friksjonskraften.

  Den spesifikke formen til funksjonen P avhenger av kraftfeltets natur. For eksempel den potensielle energien til en massekropp T, hevet til en høyde h over jordens overflate er lik

  hvor er høyden h telles fra nullnivået, hvor P 0 =0. Uttrykk (12.7) følger direkte av det faktum at potensiell energi er lik tyngdekraftens arbeid når et legeme faller fra en høyde h til jordens overflate.

  Siden opprinnelsen er valgt vilkårlig, kan den potensielle energien ha en negativ verdi (kinetisk energi er alltid positiv!). Hvis vi tar den potensielle energien til et legeme som ligger på jordoverflaten som null, vil den potensielle energien til et legeme som ligger på bunnen av gruven (dybde) h"), P= -mgh".

  La oss finne den potensielle energien til en elastisk deformert kropp (fjær). Den elastiske kraften er proporsjonal med deformasjonen:

  Hvor Fx pakke s - projeksjon av elastisk kraft på aksen X;k- elastisitetskoeffisient(for en vår - stivhet), og minustegnet indikerer det Fx OPP p er rettet i motsatt retning av deformasjonen x.

  I følge Newtons tredje lov er deformasjonskraften lik den elastiske kraften og rettet motsatt av den, dvs.

  Elementært arbeid d EN, gjort med makt Fx ved uendelig deformasjon d x, lik

  full jobb

  går for å øke vårens potensielle energi. Dermed den potensielle energien til en elastisk deformert kropp

  Den potensielle energien til et system er en funksjon av systemets tilstand. Det avhenger bare av konfigurasjonen av systemet og dets posisjon i forhold til eksterne organer.

  Når systemet går over fra staten 1 til en eller annen stat 2

  det vil si at endringen i den totale mekaniske energien til systemet under overgangen fra en tilstand til en annen er lik arbeidet utført av eksterne ikke-konservative krefter. Hvis det ikke finnes ytre ikke-konservative krefter, så følger det av (13.2).

  d ( T+P) = 0,

  det vil si at den totale mekaniske energien til systemet forblir konstant. Uttrykk (13.3) er loven om bevaring av mekanisk energi: i et system av kropper som kun konservative krefter virker mellom, er den totale mekaniske energien bevart, det vil si at den ikke endres med tiden.

  Bevegelsen av et materialpunkt langs en buet bane blir alltid akselerert, siden selv om hastigheten ikke endrer seg i numerisk verdi, endres den alltid i retning.

  Generelt kan akselerasjon under krumlinjet bevegelse representeres som en vektorsum av tangentiell (eller tangentiell) akselerasjon t og normal akselerasjon n: =t+n- ris. 1.4.

  Tangentiell akselerasjon karakteriserer endringshastigheten i hastighetsmodulo. Verdien av denne akselerasjonen vil være:

  Normal akselerasjon karakteriserer hastigheten av endring i hastighet i retning. Den numeriske verdien av denne akselerasjonen, hvor r- radius av kontaktsirkelen, dvs. en sirkel tegnet gjennom tre uendelig nære punkter B¢ , A, B, liggende på kurven (fig. 1.5). Vektor n rettet langs normalen til banen til krumningssenteret (senteret av den oskulerende sirkelen).

  Numerisk verdi av total akselerasjon

  hvor er vinkelhastigheten.

  hvor er vinkelakselerasjonen.

  Vinkelakselerasjon er numerisk lik endringen i vinkelhastighet per tidsenhet.

  Avslutningsvis presenterer vi en tabell som etablerer en analogi mellom de lineære og vinkelkinematiske parametrene for bevegelse.

  Slutt på arbeidet -

  Dette emnet tilhører seksjonen:

  Kort kurs i fysikk

  Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Ukraina.. Odessa National Maritime Academy..

  Hvis du trenger ytterligere materiale om dette emnet, eller du ikke fant det du lette etter, anbefaler vi å bruke søket i vår database over verk:

  Hva skal vi gjøre med det mottatte materialet:

  Hvis dette materialet var nyttig for deg, kan du lagre det på siden din på sosiale nettverk:

  kvitring

  Alle emner i denne delen:

  Grunnleggende SI-enheter
  For tiden er det internasjonale enhetssystemet - SI - generelt akseptert. Dette systemet inneholder syv grunnleggende enheter: meter, kilogram, sekund, mol, ampere, kelvin, candela og ytterligere to -

  Mekanikk
  Mekanikk er vitenskapen om den mekaniske bevegelsen av materielle kropper og interaksjonene mellom dem som oppstår under denne prosessen. Mekanisk bevegelse forstås som en endring i gjensidig sex over tid.

  Newtons lover
  Dynamikk er en gren av mekanikk som studerer bevegelsen til materielle kropper under påvirkning av krefter påført dem. Mekanikk er basert på Newtons lover. Newtons første lov

  Lov om bevaring av momentum
  La oss vurdere utledningen av loven om bevaring av momentum basert på Newtons andre og tredje lov.

  Sammenheng mellom arbeid og endring i kinetisk energi
  Ris. 3.3 La et legeme med masse m bevege seg langs x-aksen under

  Sammenheng mellom arbeid og endring i potensiell energi
  Ris. 3.4 Vi vil etablere denne sammenhengen ved å bruke eksemplet med gravitasjonsarbeidet

  Loven om bevaring av mekanisk energi
  La oss vurdere et lukket konservativt system av organer. Dette betyr at kroppene i systemet ikke påvirkes av ytre krefter, og indre krefter er konservative av natur. Helmekanisk

  Kollisjoner
  La oss vurdere et viktig tilfelle av interaksjon mellom faste kropper - kollisjoner. Kollisjon (påvirkning) er fenomenet med en begrenset endring i hastighetene til faste kropper over svært korte tidsperioder når de ikke er

  Grunnleggende lov om dynamikken til rotasjonsbevegelse
  Ris. 4.3 For å utlede denne loven, vurder det enkleste tilfellet

  Loven om bevaring av vinkelmomentum
  La oss vurdere en isolert kropp, dvs. en kropp som ikke påvirkes av et ytre kraftmoment. Da er Mdt = 0 og fra (4.5) følger d(Iw)=0, dvs. Iw=konst. Hvis et isolert system består

  Gyroskop
  Et gyroskop er et symmetrisk fast legeme som roterer rundt en akse som sammenfaller med legemets symmetriakse, passerer gjennom massesenteret og tilsvarer det største treghetsmomentet.

  Generelle kjennetegn ved oscillerende prosesser. Harmoniske vibrasjoner
  Oscillasjoner er bevegelser eller prosesser som har varierende grad av repeterbarhet over tid. Innen teknologi kan enheter som bruker oscillerende prosesser utføre op.

  Svingninger av en fjærpendel
  Ris. 6.1 La oss feste et legeme med masse m til enden av fjæren, som kan

  Energi av harmonisk vibrasjon
  La oss nå vurdere, ved å bruke eksemplet med en fjærpendel, energiprosessene endres i en harmonisk oscillasjon. Det er åpenbart at den totale energien til fjærpendelen er W=Wk+Wp, hvor kinetikken

  Tilsetning av harmoniske vibrasjoner i samme retning
  Løsningen på en rekke problemer, spesielt tillegg av flere svingninger i samme retning, er mye lettere hvis oscillasjonene er avbildet grafisk, i form av vektorer på et plan. Resultatet

  Dempede svingninger
  Under reelle forhold er motstandskrefter alltid tilstede i systemer som svinger. Som et resultat bruker systemet gradvis sin energi på å utføre arbeid mot motstandskrefter og

  Tvungede vibrasjoner
  Under reelle forhold mister et oscillerende system gradvis energi for å overvinne friksjonskrefter, så svingningene dempes. For at svingningene skal være udempet, er det på en eller annen måte nødvendig

  Elastiske (mekaniske) bølger
  Prosessen med forplantning av forstyrrelser i et stoff eller felt, ledsaget av overføring av energi, kalles en bølge. Elastiske bølger - prosessen med mekanisk forplantning i et elastisk medium

  Bølgeinterferens
  Interferens er fenomenet superposisjon av bølger fra to sammenhengende kilder, som et resultat av at det oppstår en omfordeling av bølgeintensitet i rommet, dvs. forstyrrelser oppstår

  Stående bølger
  Et spesielt tilfelle av interferens er dannelsen av stående bølger. Stående bølger oppstår fra interferens av to motforplantende koherente bølger med samme amplitude. Denne situasjonen kan skape problemer

  Dopplereffekt i akustikk
  Lydbølger er elastiske bølger med frekvenser fra 16 til 20 000 Hz, oppfattet av de menneskelige hørselsorganene. Lydbølger i flytende og gassformige medier er langsgående. Inn i hardt

  Grunnleggende ligning for molekylær kinetisk teori for gasser
  La oss vurdere en ideell gass som den enkleste fysiske modellen. En ideell gass er en gass der følgende betingelser er oppfylt: 1) dimensjonene til molekylene er så små at

  Fordeling av molekyler etter hastighet
  Fig. 16.1 La oss anta at vi var i stand til å måle hastighetene til alle

  Barometrisk formel
  La oss vurdere oppførselen til en ideell gass i et gravitasjonsfelt. Som du vet, når du stiger opp fra jordoverflaten, synker trykket i atmosfæren. La oss finne avhengigheten av atmosfærisk trykk på høyden

  Boltzmann distribusjon
  La oss uttrykke gasstrykket i høydene h og h0 gjennom det tilsvarende antall molekyler per volumenhet og u0, forutsatt at ved forskjellige høyder T = const: P =

  Termodynamikkens første lov og dens anvendelse på isoprosesser
  Termodynamikkens første lov er en generalisering av loven om bevaring av energi som tar hensyn til termiske prosesser. Dens formulering: mengden varme som gis til systemet, brukes på å utføre arbeid

  Antall frihetsgrader. Intern energi til en ideell gass
  Antall frihetsgrader er antallet uavhengige koordinater som beskriver bevegelsen til en kropp i rommet. Et materiell punkt har tre frihetsgrader, siden når det beveger seg i s

  Adiabatisk prosess
  Adiabatisk er en prosess som skjer uten varmeveksling med omgivelsene. I en adiabatisk prosess er dQ = 0, derfor er termodynamikkens første lov i forhold til denne prosessen

  Reversible og irreversible prosesser. Sirkulære prosesser (sykluser). Driftsprinsipp for en varmemotor
  Reversible prosesser er de som tilfredsstiller følgende betingelser. 1. Etter å ha gått gjennom disse prosessene og returnert det termodynamiske systemet til sin opprinnelige tilstand i

  Ideell Carnot varmemotor
  Ris. 25.1 I 1827 ble den franske militæringeniøren S. Carnot, vedr

  Termodynamikkens andre lov
  Termodynamikkens første lov, som er en generalisering av loven om bevaring av energi under hensyntagen til termiske prosesser, indikerer ikke retningen for forekomsten av forskjellige prosesser i naturen. Ja, først

  En prosess er umulig, det eneste resultatet av dette ville være overføring av varme fra en kald kropp til en varm
  I en kjølemaskin overføres varme fra en kald kropp (fryseren) til et varmere miljø. Dette ser ut til å motsi termodynamikkens andre lov. Virkelig imot det

  Entropi
  La oss nå introdusere en ny parameter for tilstanden til et termodynamisk system - entropi, som fundamentalt skiller seg fra andre tilstandsparametre i retning av endringen. Elementært forræderi

  Diskrethet av elektrisk ladning. Loven om bevaring av elektrisk ladning
  Kilden til det elektrostatiske feltet er en elektrisk ladning - en indre karakteristikk av en elementær partikkel som bestemmer dens evne til å gå inn i elektromagnetiske interaksjoner.

  Elektrostatisk feltenergi
  La oss først finne energien til en ladet flat kondensator. Åpenbart er denne energien numerisk lik arbeidet som må gjøres for å lade ut kondensatoren.

  Hovedtrekk ved strøm
  Elektrisk strøm er den ordnede (rettet) bevegelsen av ladede partikler. Strømstyrken er numerisk lik ladningen som føres gjennom tverrsnittet av lederen per enhet

  Ohms lov for en homogen del av en kjede
  En del av kretsen som ikke inneholder en EMF-kilde kalles homogen. Ohm etablerte eksperimentelt at strømstyrken i en homogen del av kretsen er proporsjonal med spenningen og omvendt proporsjonal

  Joule-Lenz lov
  Joule og, uavhengig av ham, Lenz etablerte eksperimentelt at mengden varme som frigjøres i en leder med motstand R i løpet av tiden dt er proporsjonal med kvadratet av strømmen, resistiv

  Kirchhoffs regler
  Ris. 39.1 For å beregne komplekse DC-kretser ved hjelp av

  Kontaktpotensialforskjell
  Hvis to forskjellige metallledere bringes i kontakt, kan elektroner bevege seg fra en leder til en annen og tilbake. Likevektstilstanden til et slikt system

  Seebeck-effekt
  Ris. 41.1 I en lukket krets av to forskjellige metaller pr. g

  Peltier-effekt
  Det andre termoelektriske fenomenet - Peltier-effekten - er at når en elektrisk strøm føres gjennom kontakten til to forskjellige ledere, oppstår en frigjøring eller absorpsjon i den.

  Lineær bevegelse, lineær hastighet, lineær akselerasjon.

  Flytte(i kinematikk) - en endring i plasseringen av en fysisk kropp i rommet i forhold til det valgte referansesystemet. Vektoren som karakteriserer denne endringen kalles også forskyvning. Den har egenskapen additivitet. Lengden på segmentet er forskyvningsmodulen, målt i meter (SI).

  Du kan definere bevegelse som en endring i radiusvektoren til et punkt: .

  Forskyvningsmodulen faller sammen med tilbakelagt distanse hvis og bare hvis forskyvningsretningen ikke endres under bevegelse. I dette tilfellet vil banen være et rett linjesegment. I alle andre tilfeller, for eksempel med krumlinjet bevegelse, følger det av trekantens ulikhet at banen er strengt tatt lengre.

  Vektor D r = r -r 0 trukket fra startposisjonen til det bevegelige punktet til dets posisjon på et gitt tidspunkt (økning av radiusvektoren til punktet over den betraktede tidsperioden) kalles flytte.

  Under rettlinjet bevegelse faller forskyvningsvektoren sammen med den tilsvarende delen av banen og forskyvningsmodulen |D r| lik tilbakelagt avstand D s.
  Lineær hastighet til et legeme i mekanikk

  Hastighet

  For å karakterisere bevegelsen til et materialpunkt, introduseres en vektormengde - hastighet, som er definert som hurtighet bevegelse og hans retning på et gitt tidspunkt.

  La et materialpunkt bevege seg langs en eller annen krumlinjet bane slik at i tidens øyeblikk t den tilsvarer radiusvektoren r 0 (fig. 3). For en kort periode D t punktet vil gå langs stien D s og vil motta en elementær (uendelig) forskyvning Dr.

  Gjennomsnittlig hastighetsvektor er forholdet mellom økningen Dr av radiusvektoren til et punkt og tidsintervallet D t:

  Retningen til den gjennomsnittlige hastighetsvektoren faller sammen med retningen til Dr. Med en ubegrenset nedgang i D t gjennomsnittshastigheten har en tendens til en begrensende verdi kalt øyeblikkelig hastighet v:

  

  

  Øyeblikkelig hastighet v er derfor en vektormengde lik den første deriverte av radiusvektoren til det bevegelige punktet i forhold til tid. Siden sekanten i grensen sammenfaller med tangenten, er hastighetsvektoren v rettet tangent til banen i bevegelsesretningen (fig. 3). Når D synker t sti D s vil i økende grad nærme seg |Dr|, så den absolutte verdien av den øyeblikkelige hastigheten

  Dermed er den absolutte verdien av den øyeblikkelige hastigheten lik den første deriverte av banen med hensyn til tid:

  På ujevn bevegelse - modulen for øyeblikkelig hastighet endres over tid. I dette tilfellet bruker vi skalarmengden b vñ - gjennomsnittshastighet ujevn bevegelse:

  Fra fig. 3 følger det at á vñ> |ávñ|, siden D s> |Dr|, og bare ved rettlinjet bevegelse

  Hvis uttrykk d s = v d t(se formel (2.2)) integreres over tid fra t før t+D t, så finner vi lengden på veien tilbakelagt av tidspunktet D t:

  Når jevn bevegelse den numeriske verdien av den øyeblikkelige hastigheten er konstant; da vil uttrykk (2.3) ta formen

  

  Lengden på stien som er tilbakelagt av et punkt i tidsrommet fra t 1 til t 2, gitt ved integralet

  Akselerasjon og dens komponenter

  Ved ujevn bevegelse er det viktig å vite hvor raskt hastigheten endres over tid. En fysisk størrelse som karakteriserer hastigheten av endring i hastighet i størrelse og retning er akselerasjon.

  La oss vurdere flat bevegelse, de. en bevegelse der alle deler av et punkts bane ligger i samme plan. La vektoren v spesifisere hastigheten til punktet EN på et tidspunkt t. I løpet av tiden D t det bevegelige punktet har flyttet til posisjon I og oppnådde en hastighet forskjellig fra v både i størrelse og retning og lik v 1 = v + Dv. La oss flytte vektoren v 1 til punktet EN og finn Dv (fig. 4).

  Middels akselerasjon ujevn bevegelse i området fra t før t+D t er en vektormengde lik forholdet mellom endringen i hastighet Dv og tidsintervallet D t

  Øyeblikkelig akselerasjon og (akselerasjon) av et materiell punkt på tidspunktet t det vil være en grense for gjennomsnittlig akselerasjon:

  

  Akselerasjon a er således en vektormengde lik den første deriverte av hastighet med hensyn til tid.

  La oss dekomponere vektoren Dv i to komponenter. For å gjøre dette fra punktet EN(Fig. 4) i hastighetsretningen v plotter vi vektoren lik i absolutt verdi v 1 . Tydeligvis vektoren , lik , bestemmer endringen i hastighet over tid D t modulo: . Den andre komponenten av vektoren Dv karakteriserer endringen i hastighet over tid D t i retning.

  Tangentiell og normal akselerasjon.

  Tangentiell akselerasjon- akselerasjonskomponent rettet tangentielt til bevegelsesbanen. Sammenfaller med retningen til hastighetsvektoren under akselerert bevegelse og i motsatt retning under sakte bevegelse. Karakteriserer endringen i hastighetsmodulen. Det er vanligvis betegnet eller (, etc. i samsvar med hvilken bokstav som er valgt for å betegne akselerasjon generelt i denne teksten).

  Noen ganger forstås tangentiell akselerasjon som projeksjonen av den tangentielle akselerasjonsvektoren - som definert ovenfor - på enhetsvektoren til tangenten til banen, som sammenfaller med projeksjonen av (total) akselerasjonsvektoren på enhetstangensvektoren, det vil si, tilsvarende ekspansjonskoeffisient i det medfølgende grunnlaget. I dette tilfellet brukes ikke en vektornotasjon, men en "skalær" - som vanlig for projeksjonen eller koordinatene til en vektor - .

  Størrelsen på tangentiell akselerasjon - i betydningen projeksjonen av akselerasjonsvektoren på en enhetstangentvektor for banen - kan uttrykkes som følger:

  hvor er bakkehastigheten langs banen, sammenfallende med den absolutte verdien av den øyeblikkelige hastigheten i et gitt øyeblikk.

  Hvis vi bruker notasjonen for enhetstangensvektoren, kan vi skrive tangentiell akselerasjon i vektorform:

  Konklusjon

  Uttrykket for tangentiell akselerasjon kan finnes ved å differensiere med hensyn til tid hastighetsvektoren, representert i form av enhetstangensvektoren:

  hvor det første leddet er tangentiell akselerasjon, og det andre er normalakselerasjonen.

  Her bruker vi notasjonen for enheten normalvektoren til banen og - for gjeldende lengde på banen (); den siste overgangen bruker også det åpenbare

  og, fra geometriske betraktninger,

  Sentripetal akselerasjon (normal)- en del av den totale akselerasjonen til et punkt, på grunn av krumningen til banen og bevegelseshastigheten til materialets punkt langs den. Denne akselerasjonen er rettet mot midten av krumningen av banen, som er det som gir opphav til begrepet. Formelt og vesentlig faller begrepet sentripetalakselerasjon generelt sammen med begrepet normal akselerasjon, og skiller seg heller bare stilistisk (noen ganger historisk).

  Spesielt ofte snakker vi om sentripetalakselerasjon når vi snakker om jevn bevegelse i en sirkel eller når bevegelsen er mer eller mindre nær dette spesielle tilfellet.

  Elementær formel

  hvor er den normale (sentripetale) akselerasjonen, er den (øyeblikkelige) lineære bevegelseshastigheten langs banen, er den (øyeblikkelige) vinkelhastigheten til denne bevegelsen i forhold til krumningssenteret til banen, er krumningsradiusen til banen på et gitt punkt. (Forbindelsen mellom den første formelen og den andre er åpenbar, gitt).

  Uttrykkene ovenfor inkluderer absolutte verdier. De kan enkelt skrives i vektorform ved å multiplisere med - en enhetsvektor fra krumningssenteret til banen til et gitt punkt:

  
  

  Disse formlene er like anvendelige for tilfellet av bevegelse med konstant (i absolutt verdi) hastighet og for et vilkårlig tilfelle. Men i den andre må man huske på at sentripetalakselerasjon ikke er fullakselerasjonsvektoren, men bare dens komponent vinkelrett på banen (eller, hva er det samme, vinkelrett på den momentane hastighetsvektoren); fullakselerasjonsvektoren inkluderer da også en tangentiell komponent (tangensiell akselerasjon), retningen sammenfaller med tangenten til banen (eller, hva som er det samme, med den momentane hastigheten).

  Konklusjon

  Det faktum at dekomponeringen av akselerasjonsvektoren til komponenter - en langs tangenten til vektorbanen (tangensiell akselerasjon) og den andre ortogonal til den (normal akselerasjon) - kan være praktisk og nyttig, er ganske åpenbart i seg selv. Dette forverres av det faktum at når du beveger deg med konstant hastighet, vil den tangentielle komponenten være lik null, det vil si at i dette viktige spesielle tilfellet gjenstår bare den normale komponenten. I tillegg, som det kan sees nedenfor, har hver av disse komponentene klart definerte egenskaper og struktur, og normal akselerasjon inneholder ganske viktig og ikke-trivielt geometrisk innhold i strukturen til formelen. For ikke å nevne det viktige spesielle tilfellet med bevegelse i en sirkel (som dessuten kan generaliseres til det generelle tilfellet med praktisk talt ingen endringer).