Função quadrática. Guia Visual (2020). Construindo uma parábola no Microsoft Excel Como desenhar uma parábola usando uma equação

Sugiro que o restante dos leitores amplie significativamente seu conhecimento escolar sobre parábolas e hipérboles. Hipérbole e parábola - são simples? ...Mal posso esperar =)

Hipérbole e sua equação canônica

A estrutura geral de apresentação do material será semelhante ao parágrafo anterior. Comecemos com o conceito geral de hipérbole e a tarefa de construí-la.

A equação canônica de uma hipérbole tem a forma , onde estão os números reais positivos. Observe que, ao contrário elipse, aqui a condição não é imposta, ou seja, o valor de “a” pode ser menor que o valor de “ser”.

Devo dizer que, de forma bastante inesperada... a equação da hipérbole “escolar” nem sequer se assemelha à notação canónica. Mas esse mistério ainda terá que esperar por nós, mas por enquanto vamos coçar a cabeça e lembrar quais são as características da curva em questão? Vamos espalhar na tela da nossa imaginação gráfico de uma função ….

Uma hipérbole possui dois ramos simétricos.

Não é um mau progresso! Qualquer hipérbole tem essas propriedades, e agora olharemos com genuína admiração para o decote desta linha:

Exemplo 4

Construa a hipérbole dada pela equação

Solução: na primeira etapa, trazemos esta equação para a forma canônica. Lembre-se do procedimento padrão. À direita você precisa obter “um”, então dividimos ambos os lados da equação original por 20:

Aqui você pode reduzir ambas as frações, mas é melhor fazer cada uma delas três andares:

E só depois faça a redução:

Selecione os quadrados nos denominadores:

Por que é melhor realizar transformações desta forma? Afinal, as frações do lado esquerdo podem ser imediatamente reduzidas e obtidas. O fato é que no exemplo em questão tivemos um pouco de sorte: o número 20 é divisível por 4 e por 5. No caso geral, esse número não funciona. Considere, por exemplo, a equação. Aqui com divisibilidade tudo fica mais triste e sem frações de três andares não é mais possível:

Então, vamos usar o fruto do nosso trabalho - a equação canônica:

Como construir uma hipérbole?

Existem duas abordagens para construir uma hipérbole - geométrica e algébrica.
Do ponto de vista prático, desenhar com bússola... Diria até utópico, por isso é muito mais lucrativo usar mais uma vez cálculos simples para ajudar.

É aconselhável seguir o seguinte algoritmo, primeiro o desenho finalizado, depois os comentários:

Na prática, é frequentemente encontrada uma combinação de rotação por um ângulo arbitrário e translação paralela da hipérbole. Esta situação é discutida em aula Reduzindo a equação da linha de 2ª ordem à forma canônica.

Parábola e sua equação canônica

Está pronto! Ela é a única. Pronto para revelar muitos segredos. A equação canônica de uma parábola tem a forma , onde é um número real. É fácil perceber que na sua posição padrão a parábola “está de lado” e seu vértice está na origem. Neste caso, a função especifica o ramo superior desta linha, e a função – o ramo inferior. É óbvio que a parábola é simétrica em relação ao eixo. Na verdade, por que se preocupar:

Exemplo 6

Construa uma parábola

Solução: o vértice é conhecido, vamos encontrar pontos adicionais. A equação determina o arco superior da parábola, a equação determina o arco inferior.

Para encurtar o registro dos cálculos, realizaremos os cálculos “com um pincel”:

Para gravação compacta, os resultados podem ser resumidos em uma tabela.

Antes de realizar um desenho elementar ponto a ponto, vamos formular um rigoroso

definição de parábola:

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos do plano que são equidistantes de um determinado ponto e de uma determinada reta que não passa pelo ponto.

O ponto é chamado foco parábolas, linha reta - diretora (escrito com um "es") parábolas. A constante "pe" da equação canônica é chamada parâmetro focal, que é igual à distância do foco à diretriz. Nesse caso . Neste caso, o foco possui coordenadas, e a diretriz é dada pela equação.
No nosso exemplo:

A definição de parábola é ainda mais simples de entender do que as definições de elipse e hipérbole. Para qualquer ponto de uma parábola, o comprimento do segmento (a distância do foco ao ponto) é igual ao comprimento da perpendicular (a distância do ponto à diretriz):

Parabéns! Muitos de vocês fizeram uma verdadeira descoberta hoje. Acontece que uma hipérbole e uma parábola não são gráficos de funções “comuns”, mas têm uma origem geométrica pronunciada.

Obviamente, à medida que o parâmetro focal aumenta, os ramos do gráfico irão “subir” e descer, aproximando-se infinitamente do eixo. À medida que o valor “pe” diminui, eles começarão a comprimir e esticar ao longo do eixo

A excentricidade de qualquer parábola é igual à unidade:

Rotação e translação paralela de uma parábola

A parábola é uma das retas mais comuns na matemática e você terá que construí-la com muita frequência. Portanto, preste atenção especial ao parágrafo final da lição, onde discutirei opções típicas para a localização desta curva.

! Observação : como nos casos das curvas anteriores, é mais correto falar em rotação e translação paralela dos eixos coordenados, mas o autor se limitará a uma versão simplificada da apresentação para que o leitor tenha uma compreensão básica dessas transformações.

Função de construção

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• Construindo gráficos muito complexos
• Construção de gráficos especificados implicitamente (por exemplo, elipse x^2/9+y^2/16=1)
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• Controle de escala, cor da linha
• Possibilidade de traçar gráficos por pontos, utilizando constantes
• Traçando vários gráficos de funções simultaneamente
• Plotando em coordenadas polares (use r e θ(\theta))

Conosco é fácil construir gráficos de complexidade variada online. A construção é feita instantaneamente. O serviço é solicitado para encontrar pontos de intersecção de funções, para representar gráficos para movê-los posteriormente para um documento do Word como ilustrações ao resolver problemas e para analisar as características comportamentais dos gráficos de funções. O navegador ideal para trabalhar com gráficos nesta página do site é o Google Chrome. O funcionamento correto não é garantido ao usar outros navegadores.

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Provavelmente todo mundo sabe o que é uma parábola. Mas veremos como usá-lo de maneira correta e competente ao resolver vários problemas práticos a seguir.

Primeiro, vamos delinear os conceitos básicos que a álgebra e a geometria dão a este termo. Vamos considerar todos os tipos possíveis deste gráfico.

Vamos descobrir todas as principais características desta função. Vamos entender os fundamentos da construção de curvas (geometria). Vamos aprender como encontrar o valor máximo e outros valores básicos de um gráfico desse tipo.

Vamos descobrir: como construir corretamente a curva desejada usando a equação, no que você precisa prestar atenção. Vejamos a principal aplicação prática deste valor único na vida humana.

O que é uma parábola e como ela se parece?

Álgebra: Este termo refere-se ao gráfico de uma função quadrática.

Geometria: esta é uma curva de segunda ordem que possui uma série de características específicas:

Equação da parábola canônica

A figura mostra um sistema de coordenadas retangulares (XOY), um extremo, a direção dos ramos da função desenhando ao longo do eixo das abcissas.

A equação canônica é:

y 2 = 2 * p * x,

onde o coeficiente p é o parâmetro focal da parábola (AF).

Em álgebra será escrito de forma diferente:

y = a x 2 + b x + c (padrão reconhecível: y = x 2).

Propriedades e gráfico de uma função quadrática

A função possui um eixo de simetria e um centro (extremo). O domínio de definição são todos os valores do eixo das abcissas.

A faixa de valores da função – (-∞, M) ou (M, +∞) depende da direção dos ramos da curva. O parâmetro M aqui significa o valor da função no topo da linha.

Como determinar para onde os ramos de uma parábola estão direcionados

Para encontrar a direção de uma curva deste tipo a partir de uma expressão, é necessário determinar o sinal antes do primeiro parâmetro da expressão algébrica. Se a ˃ 0, então eles estão direcionados para cima. Se for o contrário, para baixo.

Como encontrar o vértice de uma parábola usando a fórmula

Encontrar o extremo é o passo principal na resolução de muitos problemas práticos. Claro, você pode abrir calculadoras on-line especiais, mas é melhor poder fazer isso sozinho.

Como determinar isso? Existe uma fórmula especial. Quando b não é igual a 0, precisamos procurar as coordenadas deste ponto.

Fórmulas para encontrar o vértice:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Exemplo.

Existe uma função y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Vamos encontrar os vértices desta função.

Para uma linha como esta:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Obtemos as coordenadas do vértice (-2, -41).

Deslocamento de parábola

O caso clássico é quando em uma função quadrática y = a x 2 + b x + c, o segundo e terceiro parâmetros são iguais a 0, e = 1 - o vértice está no ponto (0; 0).

O movimento ao longo dos eixos de abcissas ou ordenadas é devido a alterações nos parâmetros b e c, respectivamente. A linha no plano será deslocada exatamente pelo número de unidades igual ao valor do parâmetro.

Exemplo.

Temos: b = 2, c = 3.

Isso significa que a forma clássica da curva se deslocará em 2 segmentos unitários ao longo do eixo das abcissas e em 3 ao longo do eixo das ordenadas.

Como construir uma parábola usando uma equação quadrática

É importante que os alunos aprendam a desenhar corretamente uma parábola usando determinados parâmetros.

Ao analisar as expressões e equações, você pode ver o seguinte:

1. O ponto de intersecção da reta desejada com o vetor ordenada terá valor igual a c.
2. Todos os pontos do gráfico (ao longo do eixo x) serão simétricos em relação ao extremo principal da função.

Além disso, os pontos de intersecção com OX podem ser encontrados conhecendo o discriminante (D) de tal função:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Para fazer isso, você precisa igualar a expressão a zero.

A presença de raízes de uma parábola depende do resultado:

• D˃ 0, então x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, então x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, então não há pontos de intersecção com o vetor OX.

Obtemos o algoritmo para construir uma parábola:

• determine a direção dos galhos;
• encontre as coordenadas do vértice;
• encontre a intersecção com o eixo das ordenadas;
• encontre a intersecção com o eixo x.

Exemplo 1.

Dada a função y = x 2 - 5 * x + 4. É necessário construir uma parábola. Seguimos o algoritmo:

1. a = 1, portanto, os ramos estão direcionados para cima;
2. coordenadas extremas: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. cruza com o eixo das ordenadas no valor y = 4;
4. vamos encontrar o discriminante: D = 25 - 16 = 9;
5. procurando raízes:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Exemplo 2.

Para a função y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 você precisa construir uma parábola. Agimos de acordo com o algoritmo fornecido:

1. a = 3, portanto, os ramos estão direcionados para cima;
2. coordenadas extremas: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. cruzará com o eixo y no valor y = -1;
4. vamos encontrar o discriminante: D = 4 + 12 = 16. Então as raízes são:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3;0).

Usando os pontos obtidos, você pode construir uma parábola.

Directrix, excentricidade, foco de uma parábola

Com base na equação canônica, o foco de F possui coordenadas (p/2, 0).

A linha reta AB é uma diretriz (uma espécie de corda de uma parábola de determinado comprimento). Sua equação é: x = -p/2.

Excentricidade (constante) = 1.

Conclusão

Vimos um tópico que os alunos estudam no ensino médio. Agora você sabe, olhando para a função quadrática de uma parábola, como encontrar seu vértice, em que direção os ramos serão direcionados, se há deslocamento ao longo dos eixos e, tendo um algoritmo de construção, você pode desenhar seu gráfico.

Como construir uma parábola? Existem várias maneiras de representar graficamente uma função quadrática. Cada um deles tem seus prós e contras. Vamos considerar duas maneiras.

Vamos começar traçando uma função quadrática da forma y=x²+bx+c e y= -x²+bx+c.

Exemplo.

Faça um gráfico da função y=x²+2x-3.

Solução:

y=x²+2x-3 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramificações para cima. Coordenadas do vértice da parábola

A partir do vértice (-1;-4) construímos um gráfico da parábola y=x² (a partir da origem das coordenadas. Em vez de (0;0) - vértice (-1;-4). De (-1; -4) vamos para a direita 1 unidade e para cima 1 unidade, depois para a esquerda 1 e para cima 1; mais: 2 - direita, 4 - para cima, 2 - esquerda, 4 - para cima; 3 - direita, 9 - para cima, 3 para a esquerda, 9 para cima. Se esses 7 pontos não forem suficientes, então 4 para a direita, 16 para cima, etc.).

O gráfico da função quadrática y= -x²+bx+c é uma parábola cujos ramos são direcionados para baixo. Para construir um gráfico, procuramos as coordenadas do vértice e a partir dele construímos uma parábola y= -x².

Exemplo.

Faça um gráfico da função y= -x²+2x+8.

Solução:

y= -x²+2x+8 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramificações para baixo. Coordenadas do vértice da parábola

De cima construímos uma parábola y= -x² (1 - para a direita, 1- para baixo; 1 - para a esquerda, 1 - para baixo; 2 - para a direita, 4 - para baixo; 2 - para a esquerda, 4 - para baixo, etc.):

Este método permite construir uma parábola rapidamente e não causa dificuldades se você souber representar graficamente as funções y=x² e y= -x². Desvantagem: se as coordenadas do vértice forem números fracionários, não é muito conveniente construir um gráfico. Se você precisar saber os valores exatos dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo do Boi, terá que resolver adicionalmente a equação x²+bx+c=0 (ou -x²+bx+c=0), mesmo que esses pontos possam ser determinados diretamente no desenho.

Outra forma de construir uma parábola é por pontos, ou seja, você pode encontrar vários pontos no gráfico e desenhar uma parábola através deles (levando em consideração que a reta x=xₒ é o seu eixo de simetria). Normalmente, para isso, eles pegam o vértice da parábola, os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados e 1-2 pontos adicionais.

Desenhe um gráfico da função y=x²+5x+4.

Solução:

y=x²+5x+4 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramificações para cima. Coordenadas do vértice da parábola

isto é, o vértice da parábola é o ponto (-2,5; -2,25).

Estão procurando. No ponto de intersecção com o eixo do Boi y=0: x²+5x+4=0. As raízes da equação quadrática x1=-1, x2=-4, ou seja, obtivemos dois pontos no gráfico (-1; 0) e (-4; 0).

No ponto de intersecção do gráfico com o eixo Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Acertamos o ponto (0; 4).

Para esclarecer o gráfico, você pode encontrar um ponto adicional. Tomemos x=1, então y=1²+5∙1+4=10, ou seja, outro ponto do gráfico é (1; 10). Marcamos esses pontos no plano de coordenadas. Levando em consideração a simetria da parábola em relação à reta que passa por seu vértice, marcamos mais dois pontos: (-5; 6) e (-6; 10) e traçamos uma parábola através deles:

Faça um gráfico da função y= -x²-3x.

Solução:

y= -x²-3x é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramificações para baixo. Coordenadas do vértice da parábola

O vértice (-1,5; 2,25) é o primeiro ponto da parábola.

Nos pontos de intersecção do gráfico com o eixo x y=0, ou seja, resolvemos a equação -x²-3x=0. Suas raízes são x=0 ex=-3, ou seja (0;0) e (-3;0) - mais dois pontos no gráfico. O ponto (o; 0) também é o ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas.

Em x=1 y=-1²-3∙1=-4, ou seja, (1; -4) é um ponto adicional para plotagem.

Construir uma parábola a partir de pontos é um método mais trabalhoso em comparação com o primeiro. Se a parábola não cruzar o eixo do Boi, serão necessários mais pontos adicionais.

Antes de continuar a construir gráficos de funções quadráticas da forma y=ax²+bx+c, consideremos a construção de gráficos de funções usando transformações geométricas. Também é mais conveniente construir gráficos de funções da forma y=x²+c usando uma dessas transformações – tradução paralela.

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