Aceleração pontual para todas as 3 maneiras de acelerar o movimento

A aceleração de um ponto caracteriza a velocidade de mudança na magnitude e direção da velocidade do ponto.

1. Aceleração de um ponto ao especificar seu movimento de forma vetorial

o vetor aceleração de um ponto é igual à primeira derivada da velocidade ou à segunda derivada do vetor raio do ponto em relação ao tempo. O vetor aceleração é direcionado para a concavidade da curva

2. Aceleração de um ponto ao especificar seu movimento usando o método de coordenadas

A magnitude e a direção do vetor aceleração são determinadas a partir das relações:

3. Determinação da aceleração ao especificar seu movimento de forma natural

Eixos naturais e triângulo natural

Eixos naturais. A curvatura caracteriza o grau de curvatura (curvatura) de uma curva. Assim, um círculo tem uma curvatura constante, que é medida pelo valor K, o inverso do raio,

Quanto maior o raio, menor a curvatura e vice-versa. Uma linha reta pode ser considerada como um círculo com um raio infinitamente grande e uma curvatura zero. O ponto representa um círculo de raio R = 0 e possui curvatura infinitamente grande.

Uma curva arbitrária tem curvatura variável. Em cada ponto de tal curva, você pode selecionar um círculo com um raio cuja curvatura seja igual à curvatura da curva em um determinado ponto M (Fig. 9.2). A quantidade é chamada de raio de curvatura em um determinado ponto da curva. O eixo direcionado tangencialmente na direção do movimento e o eixo direcionado radialmente ao centro de curvatura e denominado forma normal de eixos coordenados naturais.

Aceleração normal e tangencial de um ponto

Na forma natural de definir movimento, a aceleração de um ponto é igual à soma geométrica de dois vetores, um dos quais é direcionado ao longo da normal principal e é chamado de aceleração normal, e o segundo é direcionado ao longo de uma tangente e é chamado de aceleração tangencial do ponto.

A projeção da aceleração de um ponto na normal principal é igual ao quadrado do módulo da velocidade de tédio dividido pelo raio de curvatura da trajetória no ponto correspondente. A aceleração normal de um ponto é sempre direcionada para o centro de curvatura da trajetória e é igual em magnitude a esta projeção.

A mudança no módulo de velocidade é caracterizada pela aceleração tangencial (tangencial).

aqueles. a projeção da aceleração de um ponto na tangente é igual à segunda derivada da coordenada do arco do ponto em relação ao tempo ou à primeira derivada do valor algébrico da velocidade do ponto em relação ao tempo.

Esta projeção tem sinal de mais se as direções da aceleração tangencial e do vetor unitário coincidem, e sinal de menos se forem opostas.

Assim, no caso de um método natural de especificação de movimento, quando se conhece a trajetória de um ponto e, consequentemente, seu raio de curvatura? em qualquer ponto e na equação do movimento, você pode encontrar as projeções da aceleração do ponto nos eixos naturais:

Se a > 0 e > 0 ou a< 0 и < 0, то движение ускоренное и вектор а направлен в сторону вектора скорости. Если а < 0 и >0 ou a > 0 e< 0, то движение замедленное и вектор а направлен в сторону, противоположную вектору скорости

Casos especiais.

1. Se um ponto se move de forma retilínea e desigual, então = , e, conseqüentemente, = 0, a = a.

2. Se um ponto se move retilínea e uniformemente, = 0, a = 0 e a = 0.

3. Se um ponto se move uniformemente ao longo de uma trajetória curva, então a = 0 e a = . Com movimento curvilíneo uniforme de um ponto, a lei do movimento tem a forma s = t. É aconselhável atribuir uma direção de referência positiva nas tarefas dependendo de condições específicas. No caso em que 0 = 0, obtemos = gt e. Muitas vezes, em problemas, a fórmula é usada (quando um corpo cai de uma altura H sem velocidade inicial)

Conclusão: a aceleração normal existe apenas em curvas

32. Classificação do movimento de um ponto pela sua aceleração

se durante um certo período de tempo as acelerações normal e tangencial de um ponto forem iguais a zero, então durante esse intervalo nem a direção nem a magnitude da velocidade mudarão, ou seja, o ponto se move uniformemente em linha reta e sua aceleração é zero.

se por um certo período de tempo a aceleração normal não for zero e a aceleração tangencial de um ponto for zero, então a direção da velocidade muda sem alterar seu módulo, ou seja, o ponto se move curvilínea uniformemente e o módulo de aceleração.

Se for em um único momento no tempo, então o ponto não se move uniformemente e, neste momento, o módulo de sua velocidade tem uma taxa máxima, mínima ou menor de mudança monotônica.

se por um certo período de tempo a aceleração normal de um ponto for zero e a aceleração tangente não for zero, então a direção da velocidade não muda, mas sua magnitude muda, ou seja, o ponto se move de forma desigual em linha reta. Módulo de aceleração de ponto neste caso

Além disso, se as direções dos vetores velocidade coincidem, então o movimento do ponto é acelerado, e se não coincidirem, então o movimento do ponto é lento.

Se em algum momento, então o ponto não se move retilinearmente, mas passa pelo ponto de inflexão da trajetória ou o módulo de sua velocidade torna-se zero.

Se por um certo período de tempo nem a aceleração normal nem a tangencial forem iguais a zero, então tanto a direção quanto a magnitude de sua velocidade mudam, ou seja, o ponto faz um movimento curvilíneo irregular. Módulo de aceleração de ponto

Além disso, se as direções dos vetores velocidade coincidem, então o movimento é acelerado, e se forem opostos, então o movimento é lento.

Se o módulo de aceleração tangencial for constante, ou seja, , então o módulo da velocidade do ponto muda proporcionalmente ao tempo, ou seja, o ponto sofre movimento uniforme. E então

Fórmula para a velocidade do movimento uniformemente variável de um ponto;

Equação do movimento uniforme de um ponto

Decomposição de aceleração uma (t) (\displaystyle \mathbf (a) (t)\ \ ) para tangencial e normal um n (\ displaystyle \ mathbf (a) _ (n)); (τ (\ displaystyle \ mathbf (\ tau ) )- vetor tangente unitário).

Aceleração tangencial- componente de aceleração direcionado tangencialmente à trajetória do movimento. Caracteriza a mudança no módulo da velocidade em contraste com o componente normal, que caracteriza a mudança na direção da velocidade. A aceleração tangencial é igual ao produto do vetor unitário direcionado ao longo da velocidade do movimento e a derivada do módulo de velocidade em relação ao tempo. Assim, ele é direcionado na mesma direção do vetor velocidade durante o movimento acelerado (derivada positiva) e na direção oposta durante o movimento lento (derivada negativa).

Geralmente indicado pelo símbolo escolhido para aceleração, com acréscimo de um subscrito indicando a componente tangencial: uma τ (\displaystyle \mathbf (a) _(\tau )\ \ ) ou um t (\ displaystyle \ mathbf (a) _ (t) \ \ ), w τ (\displaystyle \mathbf (w) _(\tau )\ \ ),você τ (\displaystyle \mathbf (u)_(\tau )\ \ ) etc.

Às vezes não é uma forma vetorial que é usada, mas uma forma escalar - uma τ (\displaystyle a_(\tau )\ \ ), denotando a projeção do vetor de aceleração total no vetor unitário da tangente à trajetória, que corresponde ao coeficiente de expansão ao longo da base acompanhante.

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  A magnitude da aceleração tangencial como uma projeção do vetor aceleração na tangente à trajetória pode ser expressa da seguinte forma:

  uma τ = d v d t , (\displaystyle a_(\tau )=(\frac (dv)(dt)),)

  Onde v = d l / d t (\estilo de exibição v\ =dl/dt)- velocidade de solo ao longo da trajetória, coincidindo com o valor absoluto da velocidade instantânea em um determinado momento.

  Se usarmos a notação para o vetor tangente unitário e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )\ ), então podemos escrever a aceleração tangencial na forma vetorial:

  uma τ = d v d t e τ . (\displaystyle \mathbf (a) _(\tau )=(\frac (dv)(dt))\mathbf (e) _(\tau ).)

  Conclusão

  Conclusão 1

  A expressão para aceleração tangencial pode ser encontrada diferenciando em relação ao tempo o vetor velocidade, apresentado na forma v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) através do vetor tangente unitário e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\,\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d ) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\ mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))= (\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ ,)

  onde o primeiro termo é a aceleração tangencial e o segundo é a aceleração normal.

  A notação usada aqui é e n (\estilo de exibição e_(n)\ ) para um vetor unitário normal à trajetória e eu (\estilo de exibição l\ )- para o comprimento da trajetória atual ( eu = eu (t) (\estilo de exibição l=l(t)\ )); a última transição também usa o óbvio

  d l / d t = v (\ displaystyle dl/dt=v\ )

  e, a partir de considerações geométricas,

  d e τ d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).)

  Conclusão 2

  Se a trajetória for suave (o que é assumido), então:

  Ambos decorrem do fato de que o ângulo do vetor com a tangente não será menor que a primeira ordem em. A partir daqui segue imediatamente a fórmula desejada.

  Menos estritamente falando, projeção v (\ displaystyle \ mathbf (v) \ ) para a tangente em pequeno dt (\estilo de exibição dt\ ) praticamente coincidirá com o comprimento do vetor v (\ displaystyle \ mathbf (v) \ ), uma vez que o ângulo de desvio deste vetor da tangente em pequenos dt (\estilo de exibição dt\ )é sempre pequeno, o que significa que o cosseno deste ângulo pode ser considerado igual à unidade.

  Notas

  O valor absoluto da aceleração tangencial depende apenas da aceleração do solo, coincidindo com o seu valor absoluto, ao contrário do valor absoluto da aceleração normal, que não depende da aceleração do solo, mas depende da velocidade do solo.

  isto é, é igual à primeira derivada em relação ao tempo do módulo de velocidade, determinando assim a taxa de variação da velocidade no módulo.

  O segundo componente da aceleração, igual a

  chamado componente normal da aceleração e é direcionado ao longo da normal à trajetória até o centro de sua curvatura (portanto também é chamado aceleração centrípeta).

  Então, tangencial componente de aceleração caracteriza velocidade de mudança do módulo de velocidade(dirigido tangencialmente à trajetória), e normal componente de aceleração - velocidade de mudança de velocidade na direção(direcionado para o centro de curvatura da trajetória).

  Dependendo dos componentes tangencial e normal da aceleração, o movimento pode ser classificado da seguinte forma:

  1) , e n = 0 - movimento retilíneo uniforme;

  2) , e n = 0 - movimento retilíneo uniforme. Com esse tipo de movimento

  Se o tempo inicial t 1 =0, e a velocidade inicial v 1 =v 0 , então, denotando t 2 = t E v 2 =v, chegamos de onde

  Ao integrar esta fórmula no intervalo de zero a um ponto arbitrário no tempo t, descobrimos que o comprimento do caminho percorrido por um ponto no caso de movimento uniformemente variável

  · 3), e n = 0 - movimento linear com aceleração variável;

  · 4), e n = const. Quando a velocidade não muda em valor absoluto, mas muda de direção. Da fórmula um n = v 2 /r segue-se que o raio de curvatura deve ser constante. Portanto, o movimento circular é uniforme;

  · 5) , - movimento curvilíneo uniforme;

  · 6), - movimento curvilíneo uniforme;

  · 7) , - movimento curvilíneo com aceleração variável.

  2) Um corpo rígido movendo-se no espaço tridimensional pode ter no máximo seis graus de liberdade: três translacionais e três rotacionais

  O deslocamento angular elementar é um vetor direcionado ao longo do eixo de acordo com a regra do parafuso direito e numericamente igual ao ângulo

  Velocidade angularé uma grandeza vetorial igual à primeira derivada do ângulo de rotação de um corpo em relação ao tempo:

  A unidade é radiano por segundo (rad/s).

  A aceleração angular é uma grandeza vetorial igual à primeira derivada da velocidade angular em relação ao tempo:

  Quando um corpo gira em torno de um eixo fixo, o vetor de aceleração angular é direcionado ao longo do eixo de rotação em direção ao vetor do incremento elementar da velocidade angular. Quando o movimento é acelerado, o vetor é codirecional ao vetor (Fig. 8), quando é lento é oposto a ele (Fig. 9).

  Componente tangencial da aceleração

  Componente normal de aceleração

  Quando um ponto se move ao longo de uma curva, a velocidade linear é direcionada

  tangente à curva e módulo igual ao produto

  velocidade angular ao raio de curvatura da curva. (conexão)

  3) A primeira lei de Newton: cada ponto material (corpo) mantém um estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme até que a influência de outros corpos o force a mudar esse estado. O desejo de um corpo de manter um estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme é chamado inércia. Portanto, a primeira lei de Newton também é chamada lei da inércia.

  O movimento mecânico é relativo e sua natureza depende do referencial. A primeira lei de Newton não é satisfeita em todos os referenciais, e os sistemas em relação aos quais ela é satisfeita são chamados sistemas de referência inerciais. Um sistema de referência inercial é um sistema de referência em relação ao qual o ponto material, livre de influências externas, em repouso ou movendo-se uniformemente e em linha reta. A primeira lei de Newton afirma a existência de referenciais inerciais.

  Segunda lei de Newton - a lei básica da dinâmica do movimento translacional - responde à questão de como o movimento mecânico de um ponto material (corpo) muda sob a influência das forças aplicadas a ele.

  Peso corpo - uma grandeza física que é uma das principais características da matéria, determinando sua inercialidade ( massa inerte) e gravitacional ( massa gravitacional) propriedades. Atualmente, pode-se considerar comprovado que as massas inercial e gravitacional são iguais entre si (com uma precisão de pelo menos 10–12 de seus valores).

  Então, forçaé uma grandeza vetorial que é uma medida do impacto mecânico de outros corpos ou campos sobre um corpo, como resultado do qual o corpo adquire aceleração ou muda sua forma e tamanho.

  Grandeza vetorial

  numericamente igual ao produto da massa de um ponto material e sua velocidade e tendo a direção da velocidade é chamado impulso (quantidade de movimento) este ponto material.

  Substituindo (6.6) em (6.5), obtemos

  Esta expressão - uma formulação mais geral da segunda lei de Newton: a taxa de variação do momento de um ponto material é igual à força que atua sobre ele. A expressão é chamada equação de movimento de um ponto material.

  Terceira lei de Newton

  A interação entre pontos materiais (corpos) é determinada Terceira lei de Newton: toda ação de pontos materiais (corpos) entre si é da natureza da interação; as forças com as quais os pontos materiais atuam uns sobre os outros são sempre iguais em magnitude, direcionadas de forma oposta e atuam ao longo da linha reta que conecta esses pontos:

  F 12 = – F 21, (7.1)

  onde F 12 é a força que atua no primeiro ponto material a partir do segundo;

  F 21 - força atuante no segundo ponto material do primeiro. Essas forças são aplicadas diferente pontos materiais (corpos), sempre atuam em pares e são forças da mesma natureza.

  A terceira lei de Newton permite a transição da dinâmica separado ponto material para dinâmica sistemas pontos materiais. Isso decorre do fato de que, para um sistema de pontos materiais, a interação é reduzida às forças de interação aos pares entre pontos materiais.

  A força elástica é uma força que surge durante a deformação de um corpo e neutraliza essa deformação.

  No caso de deformações elásticas, é potencial. A força elástica é de natureza eletromagnética, sendo uma manifestação macroscópica da interação intermolecular. No caso mais simples de tensão/compressão de um corpo, a força elástica é direcionada de forma oposta ao deslocamento das partículas do corpo, perpendicularmente à superfície.

  O vetor de força é oposto à direção de deformação do corpo (deslocamento de suas moléculas).

  Lei de Hooke

  No caso mais simples de pequenas deformações elásticas unidimensionais, a fórmula para a força elástica tem a forma: onde k é a rigidez do corpo, x é a magnitude da deformação.

  GRAVIDADE, força P que atua sobre qualquer corpo localizado próximo à superfície terrestre, e definida como a soma geométrica da força gravitacional F da Terra e da força centrífuga de inércia Q, levando em consideração o efeito da rotação diária da Terra. A direção da gravidade é vertical em um determinado ponto da superfície terrestre.

  existência forças de atrito, o que evita o deslizamento de corpos em contato uns com os outros. As forças de atrito dependem das velocidades relativas dos corpos.

  Existem atritos externos (secos) e internos (líquidos ou viscosos). Fricção externaé chamado de atrito que ocorre no plano de contato de dois corpos em contato durante seu movimento relativo. Se os corpos em contato estão imóveis entre si, falam de atrito estático, mas se há um movimento relativo desses corpos, então, dependendo da natureza de seu movimento relativo, falam de Fricção deslizante, rolando ou fiação.

  Fricção internaé chamado de atrito entre partes do mesmo corpo, por exemplo, entre diferentes camadas de líquido ou gás, cuja velocidade varia de camada para camada. Ao contrário do atrito externo, não há atrito estático aqui. Se os corpos deslizarem uns em relação aos outros e forem separados por uma camada de líquido viscoso (lubrificante), ocorre atrito na camada lubrificante. Neste caso eles falam sobre atrito hidrodinâmico(a camada lubrificante é bastante espessa) e atrito limite (a espessura da camada lubrificante é »0,1 mícron ou menos).

  estabeleceu experimentalmente o seguinte lei: força de atrito deslizante F tr é proporcional à força N pressão normal com a qual um corpo atua sobre outro:

  F tr = f N ,

  Onde f- coeficiente de atrito de deslizamento, dependendo das propriedades das superfícies de contato.

  f = tga 0.

  Assim, o coeficiente de atrito é igual à tangente do ângulo a 0 no qual o corpo começa a deslizar ao longo do plano inclinado.

  Para superfícies lisas, a atração intermolecular começa a desempenhar um certo papel. Para eles é aplicado lei de atrito deslizante

  F tr = fé ( N + SP 0) ,

  Onde R 0 - pressão adicional causada por forças de atração intermoleculares, que diminuem rapidamente com o aumento da distância entre as partículas; S-área de contato entre corpos; f ist - verdadeiro coeficiente de atrito de deslizamento.

  A força de atrito de rolamento é determinada de acordo com a lei estabelecida por Coulomb:

  F tr = f Para N/r , (8.1)

  Onde R- raio do corpo rolante; f k - coeficiente de atrito de rolamento, tendo a dimensão dim f k = eu. Segue-se de (8.1) que a força de atrito de rolamento é inversamente proporcional ao raio do corpo rolante.

  Líquido (viscoso) é o atrito entre um meio sólido e um meio líquido ou gasoso ou suas camadas.

  onde está o momento do sistema. Assim, a derivada temporal do momento de um sistema mecânico é igual à soma geométrica das forças externas que atuam no sistema.

  A última expressão é lei da conservação do momento: O momento de um sistema em malha fechada é conservado, ou seja, não muda com o tempo.

  Centro de massa(ou centro de inércia) de um sistema de pontos materiais é chamado de ponto imaginário COM, cuja posição caracteriza a distribuição de massa deste sistema. Seu vetor raio é igual a

  Onde eu eu E eu- vetor massa e raio, respectivamente eu o ponto material; n- número de pontos materiais no sistema; – massa do sistema. Velocidade do centro de massa

  Considerando que pi = eu eu v eu, a há um impulso R sistemas, você pode escrever

  isto é, o momento do sistema é igual ao produto da massa do sistema pela velocidade do seu centro de massa.

  Substituindo a expressão (9.2) na equação (9.1), obtemos

  isto é, o centro de massa do sistema se move como um ponto material no qual a massa de todo o sistema está concentrada e sobre o qual atua uma força igual à soma geométrica de todas as forças externas aplicadas ao sistema. A expressão (9.3) é lei do movimento do centro de massa.

  De acordo com (9.2), segue da lei da conservação do momento que o centro de massa de um sistema fechado se move retilínea e uniformemente ou permanece estacionário.

  5) Momento de força F em relação a um ponto fixo SOBRE é uma quantidade física determinada pelo produto vetorial do vetor raio R tirado do ponto SOBRE exatamente A aplicação de força, força F(Fig. 25):

  Aqui M- pseudovetor, sua direção coincide com a direção do movimento de translação da hélice direita conforme ela gira de r para F. Módulo do momento de força

  onde a é o ângulo entre r e F; R sina = eu- a distância mais curta entre a linha de ação da força e o ponto SOBRE -ombro de força.

  Momento de força em torno de um eixo fixo z chamado escalar magnitude Mz, igual à projeção neste eixo do vetor M do momento de força determinado em relação a um ponto arbitrário SOBRE dado eixo z (Fig. 26). Valor de torque M z não depende da escolha da posição do ponto SOBRE no eixo z.

  Se o eixo z coincide com a direção do vetor M, então o momento da força é representado como um vetor coincidente com o eixo:

  Encontramos a energia cinética de um corpo em rotação como a soma das energias cinéticas de seus volumes elementares:

  Usando a expressão (17.1), obtemos

  Onde J z - momento de inércia do corpo em relação ao eixo z. Assim, a energia cinética de um corpo em rotação

  A partir de uma comparação da fórmula (17.2) com a expressão (12.1) para a energia cinética de um corpo em movimento translacional (T=mv 2 /2), segue-se que o momento de inércia é medida da inércia do corpo durante o movimento rotacional. A fórmula (17.2) é válida para um corpo girando em torno de um eixo fixo.

  No caso do movimento plano de um corpo, por exemplo, um cilindro rolando em um plano inclinado sem deslizar, a energia do movimento é a soma da energia do movimento de translação e da energia de rotação:

  Onde eu- massa do corpo rolante; vc- velocidade do centro de massa do corpo; Jc- momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa; c- velocidade angular do corpo.

  6) Para caracterizar quantitativamente o processo de troca de energia entre corpos em interação, o conceito é introduzido na mecânica trabalho de força. Se o corpo se move direto e é influenciado por uma força constante F, que forma um certo ângulo  com a direção do movimento, então o trabalho dessa força é igual ao produto da projeção da força Fs na direção do movimento ( Fs= F cos), multiplicado pelo deslocamento do ponto de aplicação da força:

  No caso geral, a força pode mudar tanto em magnitude quanto em direção, portanto a fórmula (11.1) não pode ser usada. Se, no entanto, considerarmos o deslocamento elementar dr, então a força F pode ser considerada constante, e o movimento do ponto de sua aplicação pode ser considerado retilíneo. Trabalho elementar a força F no deslocamento dr é chamada escalar magnitude

  onde  é o ângulo entre os vetores F e dr; ds = |dr| - caminho elementar; F-s - projeção do vetor F no vetor dr (Fig. 13).

  Trabalho de força na seção de trajetória do ponto 1 ao ponto 2 igual à soma algébrica do trabalho elementar em seções infinitesimais individuais do caminho. Esta soma é reduzida à integral

  Para caracterizar a taxa de trabalho realizado, é introduzido o conceito poder:

  Durante o tempo d t a força F realiza trabalho Fdr, e a potência desenvolvida por esta força em um determinado momento

  ou seja, é igual ao produto escalar do vetor força e do vetor velocidade com que se move o ponto de aplicação dessa força; N- magnitude escalar.

  Unidade de poder - watt(W): 1 W é a potência na qual 1 J de trabalho é realizado em 1 s (1 W = 1 J/s).

  Energia cinética de um sistema mecânico é a energia do movimento mecânico deste sistema.

  A força F, agindo sobre um corpo em repouso e fazendo-o se mover, realiza trabalho, e a energia de um corpo em movimento aumenta na proporção do trabalho despendido. Assim, o trabalho d A a força F no caminho que o corpo percorreu durante o aumento da velocidade de 0 a v, vai aumentar a energia cinética d T corpos, ou seja,

  Usando a segunda lei de Newton e multiplicando pelo deslocamento dr obtemos

  Energia potencial- energia mecânica de um sistema de corpos, determinada pela sua posição relativa e pela natureza das forças de interação entre eles.

  Deixe a interação dos corpos ser realizada através de campos de força (por exemplo, um campo de forças elásticas, um campo de forças gravitacionais), caracterizado pelo fato de que o trabalho realizado pelas forças atuantes ao mover um corpo de uma posição para outra não não depende da trajetória ao longo da qual esse movimento ocorreu, e depende apenas das posições inicial e final. Tais campos são chamados potencial, e as forças que atuam neles são conservador. Se o trabalho realizado por uma força depende da trajetória do corpo que se move de um ponto a outro, então tal força é chamada dissipativo; um exemplo disso é a força de atrito.

  A forma específica da função P depende da natureza do campo de força. Por exemplo, a energia potencial de um corpo de massa T, elevado a uma altura h acima da superfície da Terra é igual a

  onde está a altura hé contado a partir do nível zero, para o qual P 0 =0. A expressão (12.7) decorre diretamente do fato de que a energia potencial é igual ao trabalho realizado pela gravidade quando um corpo cai de uma altura h para a superfície da Terra.

  Como a origem é escolhida arbitrariamente, a energia potencial pode ter um valor negativo (a energia cinética é sempre positiva!). Se considerarmos a energia potencial de um corpo localizado na superfície da Terra como zero, então a energia potencial de um corpo localizado no fundo da mina (profundidade h"),P = -mg".

  Vamos encontrar a energia potencial de um corpo elasticamente deformado (mola). A força elástica é proporcional à deformação:

  Onde FX pacote p - projeção de força elástica no eixo X;k- coeficiente de elasticidade(para uma primavera - rigidez) e o sinal de menos indica que FX UP p é direcionado na direção oposta à deformação x.

  De acordo com a terceira lei de Newton, a força deformante é igual em magnitude à força elástica e dirigida de forma oposta a ela, ou seja,

  Trabalho elementar d A, feito à força FX na deformação infinitesimal d x, igual a

  um trabalho completo

  vai aumentar a energia potencial da mola. Assim, a energia potencial de um corpo elasticamente deformado

  A energia potencial de um sistema é função do estado do sistema. Depende apenas da configuração do sistema e da sua posição em relação aos corpos externos.

  Quando o sistema transita do estado 1 para qualquer estado 2

  isto é, a mudança na energia mecânica total do sistema durante a transição de um estado para outro é igual ao trabalho realizado por forças externas não conservativas. Se não houver forças externas não conservativas, então de (13.2) segue que

  d ( T+P) = 0,

  isto é, a energia mecânica total do sistema permanece constante. A expressão (13.3) é lei da conservação da energia mecânica: em um sistema de corpos entre os quais atuam apenas forças conservativas, a energia mecânica total é conservada, ou seja, não muda com o tempo.

  O movimento de um ponto material ao longo de uma trajetória curva é sempre acelerado, pois mesmo que a velocidade não mude em valor numérico, ela sempre muda de direção.

  Em geral, a aceleração durante o movimento curvilíneo pode ser representada como uma soma vetorial da aceleração tangencial (ou tangencial) t e aceleração normal n: =t+n- arroz. 1.4.

  A aceleração tangencial caracteriza a taxa de mudança no módulo de velocidade. O valor desta aceleração será:

  A aceleração normal caracteriza a taxa de mudança na velocidade na direção. O valor numérico desta aceleração, onde r- raio do círculo de contato, ou seja, um círculo desenhado através de três pontos infinitamente próximos B¢ , A, B, deitado na curva (Fig. 1.5). Vetor n direcionado ao longo da normal à trajetória até o centro de curvatura (o centro do círculo osculante).

  Valor numérico da aceleração total

  onde está a velocidade angular.

  onde está a aceleração angular.

  A aceleração angular é numericamente igual à mudança na velocidade angular por unidade de tempo.

  Concluindo, apresentamos uma tabela que estabelece uma analogia entre os parâmetros cinemáticos lineares e angulares do movimento.

  Fim do trabalho -

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  Oscilações de um pêndulo de mola
  Arroz. 6.1 Fixemos um corpo de massa m na extremidade da mola, que pode

  Energia de vibração harmônica
  Consideremos agora, usando o exemplo de um pêndulo de mola, os processos de mudança de energia em uma oscilação harmônica. É óbvio que a energia total do pêndulo de mola é W=Wk+Wp, onde a energia cinética

  Adição de vibrações harmônicas da mesma direção
  A solução para uma série de questões, em particular, a adição de várias oscilações na mesma direção, é muito facilitada se as oscilações forem representadas graficamente, na forma de vetores em um plano. O resultado

  Oscilações amortecidas
  Em condições reais, as forças de resistência estão sempre presentes em sistemas que oscilam. Como resultado, o sistema gradualmente gasta sua energia para realizar trabalho contra forças de resistência e

  Vibrações forçadas
  Em condições reais, um sistema oscilante perde gradualmente energia para superar as forças de atrito, de modo que as oscilações são amortecidas. Para que as oscilações não sejam amortecidas, é necessário de alguma forma

  Ondas elásticas (mecânicas)
  O processo de propagação de perturbações em uma substância ou campo, acompanhado pela transferência de energia, é denominado onda. Ondas elásticas - o processo de propagação mecânica em meio elástico

  Interferência de ondas
  Interferência é o fenômeno de superposição de ondas de duas fontes coerentes, como resultado da redistribuição da intensidade das ondas no espaço, ou seja, ocorre interferência

  Ondas estacionárias
  Um caso especial de interferência é a formação de ondas estacionárias. As ondas estacionárias surgem da interferência de duas ondas coerentes em contrapropagação com a mesma amplitude. Esta situação pode causar problemas

  Efeito Doppler em acústica
  As ondas sonoras são ondas elásticas com frequências de 16 a 20.000 Hz, percebidas pelos órgãos auditivos humanos. As ondas sonoras em meios líquidos e gasosos são longitudinais. Em difícil

  Equação básica da teoria cinética molecular dos gases
  Consideremos um gás ideal como o modelo físico mais simples. Um gás ideal é aquele para o qual são satisfeitas as seguintes condições: 1) as dimensões das moléculas são tão pequenas que

  Distribuição de moléculas por velocidade
  Fig. 16.1 Suponhamos que fomos capazes de medir as velocidades de todos

  Fórmula barométrica
  Consideremos o comportamento de um gás ideal em um campo gravitacional. Como você sabe, à medida que sobe da superfície da Terra, a pressão da atmosfera diminui. Vamos encontrar a dependência da pressão atmosférica com a altitude

  Distribuição de Boltzmann
  Vamos expressar a pressão do gás nas alturas h e h0 através do número correspondente de moléculas por unidade de volume e u0, assumindo que em diferentes alturas T = const: P =

  A primeira lei da termodinâmica e sua aplicação aos isoprocessos
  A primeira lei da termodinâmica é uma generalização da lei da conservação da energia levando em consideração os processos térmicos. Sua formulação: a quantidade de calor transmitida ao sistema é gasta na realização do trabalho

  Número de graus de liberdade. Energia interna de um gás ideal
  O número de graus de liberdade é o número de coordenadas independentes que descrevem o movimento de um corpo no espaço. Um ponto material possui três graus de liberdade, pois quando se move em p

  Processo adiabático
  Adiabático é um processo que ocorre sem troca de calor com o meio ambiente. Num processo adiabático, dQ = 0, portanto a primeira lei da termodinâmica em relação a este processo é

  Processos reversíveis e irreversíveis. Processos circulares (ciclos). Princípio de funcionamento de uma máquina térmica
  Processos reversíveis são aqueles que satisfazem as seguintes condições. 1. Após passar por esses processos e retornar o sistema termodinâmico ao seu estado original em

  Máquina térmica de Carnot ideal
  Arroz. 25.1 Em 1827, o engenheiro militar francês S. Carnot, re

  Segunda lei da termodinâmica
  A primeira lei da termodinâmica, que é uma generalização da lei da conservação da energia levando em consideração os processos térmicos, não indica a direção de ocorrência dos diversos processos na natureza. Sim, primeiro

  É impossível um processo cujo único resultado seria a transferência de calor de um corpo frio para um corpo quente
  Numa máquina de refrigeração, o calor é transferido de um corpo frio (o congelador) para um ambiente mais quente. Isto parece contradizer a segunda lei da termodinâmica. Realmente contra isso

  Entropia
  Vamos agora apresentar um novo parâmetro de estado de um sistema termodinâmico - a entropia, que difere fundamentalmente de outros parâmetros de estado na direção de sua mudança. Traição elementar

  Discreto de carga elétrica. Lei da conservação da carga elétrica
  A fonte do campo eletrostático é uma carga elétrica - uma característica interna de uma partícula elementar que determina sua capacidade de entrar em interações eletromagnéticas.

  Energia do campo eletrostático
  Vamos primeiro encontrar a energia de um capacitor plano carregado. Obviamente, essa energia é numericamente igual ao trabalho que precisa ser realizado para descarregar o capacitor.

  Principais características da corrente
  A corrente elétrica é o movimento ordenado (direcionado) de partículas carregadas. A intensidade da corrente é numericamente igual à carga que passa pela seção transversal do condutor por unidade

  Lei de Ohm para uma seção homogênea de uma cadeia
  Uma seção do circuito que não contém uma fonte EMF é chamada de homogênea. Ohm estabeleceu experimentalmente que a intensidade da corrente em uma seção homogênea do circuito é proporcional à tensão e inversamente proporcional

  Lei de Joule-Lenz
  Joule e, independentemente dele, Lenz estabeleceram experimentalmente que a quantidade de calor liberada em um condutor com resistência R durante o tempo dt é proporcional ao quadrado da corrente, resistiva

  Regras de Kirchhoff
  Arroz. 39.1 Para calcular circuitos CC complexos usando

  Diferença de potencial de contato
  Se dois condutores metálicos diferentes forem colocados em contato, os elétrons serão capazes de se mover de um condutor para outro e vice-versa. O estado de equilíbrio de tal sistema

  Efeito Seebeck
  Arroz. 41.1 Em um circuito fechado de dois metais diferentes por g

  Efeito Peltier
  O segundo fenômeno termoelétrico - o efeito Peltier - é que quando uma corrente elétrica passa pelo contato de dois condutores diferentes, ocorre nela uma liberação ou absorção.

  Movimento linear, velocidade linear, aceleração linear.

  Movendo-se(em cinemática) - uma mudança na localização de um corpo físico no espaço em relação ao sistema de referência selecionado. O vetor que caracteriza essa mudança também é chamado de deslocamento. Tem a propriedade de aditividade. O comprimento do segmento é o módulo de deslocamento, medido em metros (SI).

  Você pode definir o movimento como uma mudança no vetor raio de um ponto: .

  O módulo de deslocamento coincide com a distância percorrida se e somente se a direção do deslocamento não muda durante o movimento. Neste caso, a trajetória será um segmento de reta. Em qualquer outro caso, por exemplo, com movimento curvilíneo, segue-se da desigualdade triangular que o caminho é estritamente mais longo.

  Vetor D R = R -R 0 traçado da posição inicial do ponto móvel até sua posição em um determinado momento (incremento do vetor raio do ponto ao longo do período de tempo considerado) é chamado em movimento.

  Durante o movimento retilíneo, o vetor de deslocamento coincide com a seção correspondente da trajetória e o módulo de deslocamento |D R| igual à distância percorrida D é.
  Velocidade linear de um corpo em mecânica

  Velocidade

  Para caracterizar o movimento de um ponto material, é introduzida uma grandeza vetorial - velocidade, que é definida como rapidez movimento e seu direção em um determinado momento no tempo.

  Deixe um ponto material se mover ao longo de alguma trajetória curvilínea de modo que no momento t corresponde ao vetor raio r 0 (Fig. 3). Por um curto período de tempo D t o ponto seguirá o caminho D é e receberá um deslocamento elementar (infinitesimal) do Dr.

  Vetor de velocidade média é a razão entre o incremento Dr do vetor raio de um ponto e o intervalo de tempo D t:

  A direção do vetor velocidade média coincide com a direção do Dr. Com uma diminuição ilimitada em D t a velocidade média tende a um valor limite chamado velocidade instantânea v:

  

  

  A velocidade instantânea v, portanto, é uma grandeza vetorial igual à primeira derivada do vetor raio do ponto móvel em relação ao tempo. Como a secante no limite coincide com a tangente, o vetor velocidade v é direcionado tangente à trajetória na direção do movimento (Fig. 3). À medida que D diminui t caminho D é se aproximará cada vez mais de |Dr|, então o valor absoluto da velocidade instantânea

  Assim, o valor absoluto da velocidade instantânea é igual à primeira derivada do caminho em relação ao tempo:

  No movimento irregular - o módulo de velocidade instantânea muda com o tempo. Neste caso, usamos a quantidade escalar b vñ - velocidade média movimento irregular:

  Da Fig. 3 segue-se que á vñ> |ávñ|, desde D é> |Dr|, e apenas no caso de movimento retilíneo

  Se expressão d s = v d t(ver fórmula (2.2)) integram ao longo do tempo variando de t antes t+D t, então encontramos o comprimento do caminho percorrido pelo ponto no tempo D t:

  Quando Movimento uniforme o valor numérico da velocidade instantânea é constante; então a expressão (2.3) assumirá a forma

  

  O comprimento do caminho percorrido por um ponto durante o período de tempo de t 1 para t 2, dado pela integral

  Aceleração e seus componentes

  No caso de movimento irregular, é importante saber a rapidez com que a velocidade muda ao longo do tempo. Uma quantidade física que caracteriza a taxa de mudança na velocidade em magnitude e direção é aceleração.

  Vamos considerar movimento plano, aqueles. um movimento no qual todas as partes da trajetória de um ponto estão no mesmo plano. Deixe o vetor v especificar a velocidade do ponto A em um momento t. Durante o tempo D t o ponto móvel mudou para a posição EM e adquiriu uma velocidade diferente de v tanto em magnitude quanto em direção e igual a v 1 = v + Dv. Vamos mover o vetor v 1 para o ponto A e encontre Dv (Fig. 4).

  Aceleração média movimento irregular na faixa de t antes t+D té uma grandeza vetorial igual à razão entre a mudança na velocidade Dv e o intervalo de tempo D t

  Aceleração instantânea e (aceleração) de um ponto material no momento t haverá um limite de aceleração média:

  

  Assim, a aceleração a é uma grandeza vetorial igual à primeira derivada da velocidade em relação ao tempo.

  Vamos decompor o vetor Dv em duas componentes. Para fazer isso do ponto A(Fig. 4) na direção da velocidade v traçamos o vetor igual em valor absoluto a v 1 . Obviamente, o vetor , igual a , determina a mudança na velocidade ao longo do tempo D módulo t: . A segunda componente do vetor Dv caracteriza a mudança na velocidade ao longo do tempo D t na direção.

  Aceleração tangencial e normal.

  Aceleração tangencial- componente de aceleração direcionada tangencialmente à trajetória do movimento. Coincide com a direção do vetor velocidade durante o movimento acelerado e na direção oposta durante o movimento lento. Caracteriza a mudança no módulo de velocidade. Geralmente é designado ou (, etc. de acordo com a letra escolhida para denotar aceleração em geral neste texto).

  Às vezes, a aceleração tangencial é entendida como a projeção do vetor de aceleração tangencial - conforme definido acima - no vetor unitário da tangente à trajetória, que coincide com a projeção do vetor de aceleração (total) no vetor tangente unitário, ou seja, o coeficiente de expansão correspondente na base anexa. Neste caso, não se utiliza uma notação vetorial, mas sim uma notação “escalar” - como é habitual para a projeção ou coordenadas de um vetor - .

  A magnitude da aceleração tangencial - no sentido da projeção do vetor de aceleração em um vetor tangente unitário da trajetória - pode ser expressa da seguinte forma:

  onde é a velocidade de solo ao longo da trajetória, coincidindo com o valor absoluto da velocidade instantânea em um determinado momento.

  Se usarmos a notação para o vetor tangente unitário, então podemos escrever a aceleração tangencial na forma vetorial:

  Conclusão

  A expressão para aceleração tangencial pode ser encontrada diferenciando em relação ao tempo o vetor velocidade, representado em termos do vetor tangente unitário:

  onde o primeiro termo é a aceleração tangencial e o segundo é a aceleração normal.

  Aqui usamos a notação para o vetor unitário da normal à trajetória e - para o comprimento atual da trajetória (); a última transição também usa o óbvio

  e, a partir de considerações geométricas,

  Aceleração centrípeta (normal)- parte da aceleração total de um ponto, devido à curvatura da trajetória e à velocidade de movimento do ponto material ao longo dela. Essa aceleração é direcionada para o centro de curvatura da trajetória, que é o que dá origem ao termo. Formal e essencialmente, o termo aceleração centrípeta geralmente coincide com o termo aceleração normal, diferindo apenas estilisticamente (às vezes historicamente).

  Particularmente frequentemente falamos sobre aceleração centrípeta quando falamos de movimento uniforme em círculo ou quando o movimento está mais ou menos próximo deste caso particular.

  Fórmula elementar

  onde é a aceleração normal (centrípeta), é a velocidade linear (instantânea) do movimento ao longo da trajetória, é a velocidade angular (instantânea) deste movimento em relação ao centro de curvatura da trajetória, é o raio de curvatura da trajetória em um determinado ponto. (A conexão entre a primeira fórmula e a segunda é óbvia, dada).

  As expressões acima incluem valores absolutos. Eles podem ser facilmente escritos na forma vetorial multiplicando por - um vetor unitário do centro de curvatura da trajetória até um determinado ponto:

  
  

  Essas fórmulas são igualmente aplicáveis ​​​​ao caso de movimento com velocidade constante (em valor absoluto) e a um caso arbitrário. Porém, no segundo, deve-se ter em mente que a aceleração centrípeta não é o vetor aceleração total, mas apenas sua componente perpendicular à trajetória (ou, o que dá no mesmo, perpendicular ao vetor velocidade instantânea); o vetor de aceleração total também inclui uma componente tangencial (aceleração tangencial), cuja direção coincide com a tangente à trajetória (ou, o que dá no mesmo, com a velocidade instantânea).

  Conclusão

  O fato de que a decomposição do vetor aceleração em componentes - um ao longo da tangente à trajetória do vetor (aceleração tangencial) e outro ortogonal a ele (aceleração normal) - pode ser conveniente e útil é bastante óbvio por si só. Isto é agravado pelo fato de que ao se mover em velocidade constante, a componente tangencial será igual a zero, ou seja, neste importante caso particular, resta apenas a componente normal. Além disso, como pode ser visto abaixo, cada um desses componentes possui propriedades e estrutura claramente definidas, e a aceleração normal contém conteúdo geométrico bastante importante e não trivial na estrutura de sua fórmula. Sem mencionar o importante caso particular do movimento em círculo (que, além disso, pode ser generalizado para o caso geral praticamente sem alterações).