Տատանումների շարքի փոփոխականությունը գնահատելու մոտավոր մեթոդ է սահմանը և ամպլիտուդը որոշելը, սակայն շարքի մեջ տարբերակի արժեքները հաշվի չեն առնվում: Վարիացիոն շարքի մեջ քանակական բնութագրի փոփոխականության հիմնական ընդհանուր ընդունված չափումն է ստանդարտ շեղում (σ - սիգմա). Որքան մեծ է ստանդարտ շեղումը, այնքան բարձր է այս շարքի տատանման աստիճանը:

Ստանդարտ շեղումը հաշվարկելու մեթոդը ներառում է հետևյալ քայլերը.

1. Գտի՛ր միջին թվաբանականը (Մ):

2. Որոշի՛ր առանձին տարբերակների շեղումները թվաբանական միջինից (d=V-M): Բժշկական վիճակագրության մեջ միջինից շեղումները նշանակվում են որպես դ (շեղում): Բոլոր շեղումների գումարը զրո է:

3. Յուրաքանչյուր շեղում քառակուսի դ 2.

4. Շեղումների քառակուսիները բազմապատկեք համապատասխան հաճախականություններով d 2 *p.

5. Գտի՛ր å(d 2 *p) արտադրյալների գումարը:

6. Հաշվեք ստանդարտ շեղումը բանաձևով.

Երբ n-ը 30-ից մեծ է, կամ երբ n-ը փոքր է կամ հավասար է 30-ի, որտեղ n-ը բոլոր տարբերակների թիվն է:

Ստանդարտ շեղման արժեքը.

1. Ստանդարտ շեղումը բնութագրում է տարբերակի տարածումը միջին արժեքի նկատմամբ (այսինքն՝ տատանումների շարքի փոփոխականությունը): Որքան մեծ է սիգման, այնքան բարձր է այս շարքի բազմազանության աստիճանը:

2. Ստանդարտ շեղումը օգտագործվում է թվաբանական միջինի համապատասխանության աստիճանի համեմատական ​​գնահատման համար այն տատանումների շարքին, որի համար այն հաշվարկվել է:

Զանգվածային երևույթների տատանումները ենթարկվում են նորմալ բաշխման օրենքին։ Այս բաշխումը ներկայացնող կորը նման է հարթ զանգակաձև սիմետրիկ կորի (Գաուսի կոր): Ըստ հավանականության տեսության՝ նորմալ բաշխման օրենքին հնազանդվող երևույթներում առկա է խիստ մաթեմատիկական հարաբերություն միջին թվաբանական արժեքների և ստանդարտ շեղման միջև։ Տարբերակի տեսական բաշխումը միատարր տատանումների շարքում ենթարկվում է երեք սիգմայի կանոնին:

Եթե ​​ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգում քանակական բնութագրիչի (տարբերակների) արժեքները գծագրվում են աբսցիսայի առանցքի վրա, իսկ փոփոխական շարքում տարբերակի առաջացման հաճախականությունը գծագրվում է օրդինատների առանցքի վրա, ապա ավելի մեծ և փոքր տարբերակները: արժեքները հավասարապես տեղակայված են թվաբանական միջինի կողմերում:

Հաստատվել է, որ հատկանիշի նորմալ բաշխմամբ.

Տարբերակային արժեքների 68,3%-ը գտնվում է M±1-ի սահմաններում

Տարբերակային արժեքների 95,5%-ը գտնվում է M±2 վրկ-ի սահմաններում

Տարբերակային արժեքների 99,7%-ը գտնվում է M±3s-ի սահմաններում

3. Ստանդարտ շեղումը թույլ է տալիս սահմանել նորմալ արժեքներ կլինիկական և կենսաբանական պարամետրերի համար: Բժշկության մեջ M±1s միջակայքը սովորաբար ընդունվում է որպես ուսումնասիրվող երեւույթի նորմալ միջակայք: Գնահատված արժեքի շեղումը թվաբանական միջինից ավելի քան 1 վրկ-ով ցույց է տալիս ուսումնասիրված պարամետրի շեղումը նորմայից:

4. Բժշկության մեջ մանկաբուժության մեջ կիրառվում է երեք սիգմա կանոնը՝ երեխաների ֆիզիկական զարգացման մակարդակի անհատական ​​գնահատման համար (սիգմայի շեղման մեթոդ), մանկական հագուստի չափորոշիչների մշակման համար։

5. Ստանդարտ շեղումը անհրաժեշտ է ուսումնասիրվող հատկանիշի բազմազանության աստիճանը բնութագրելու և միջին թվաբանականի սխալը հաշվարկելու համար:

Ստանդարտ շեղման արժեքը սովորաբար օգտագործվում է նույն տեսակի շարքերի փոփոխականությունը համեմատելու համար: Եթե ​​համեմատվում են տարբեր բնութագրերով երկու շարքեր (հասակ և քաշ, հիվանդանոցային բուժման միջին տևողությունը և հիվանդանոցային մահացությունը և այլն), ապա սիգմայի չափերի ուղղակի համեմատությունն անհնար է. , որովհետեւ Ստանդարտ շեղումը բացարձակ թվերով արտահայտված անվանված արժեք է: Այս դեպքերում օգտագործեք տատանումների գործակից (Cv), որը հարաբերական արժեք է՝ ստանդարտ շեղման տոկոսային հարաբերակցությունը թվաբանական միջինին։

Տատանումների գործակիցը հաշվարկվում է բանաձևով.

Որքան բարձր է տատանումների գործակիցը , այնքան մեծ է այս շարքի փոփոխականությունը: Ենթադրվում է, որ ավելի քան 30% տատանումների գործակիցը ցույց է տալիս բնակչության որակական տարասեռությունը:

Հիպոթեզների վիճակագրական փորձարկման ժամանակ պատահական փոփոխականների միջև գծային կապը չափելիս:

Ստանդարտ շեղում.

Ստանդարտ շեղում(Հարկ, մեր շրջապատող պատերը և առաստաղը պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղման գնահատում, xհամեմատ իր մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ՝ հիմնված դրա շեղումների անաչառ գնահատման վրա).

որտեղ է ցրվածությունը; - Հատակը, մեր շրջապատի պատերը և առաստաղը, եսընտրության րդ տարրը; - նմուշի չափը; - նմուշի միջին թվաբանականը.

Հարկ է նշել, որ երկու գնահատականներն էլ կողմնակալ են։ Ընդհանուր դեպքում անհնար է անաչառ գնահատական ​​կազմել: Այնուամենայնիվ, անաչառ շեղումների գնահատման վրա հիմնված գնահատումը համահունչ է:

Երեք սիգմա կանոն

Երեք սիգմա կանոն() - նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի գրեթե բոլոր արժեքները գտնվում են միջակայքում: Ավելի խիստ՝ ոչ պակաս, քան 99,7% վստահությամբ, նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի արժեքը գտնվում է նշված միջակայքում (պայմանով, որ արժեքը ճշմարիտ է և չի ստացվել նմուշի մշակման արդյունքում):

Եթե ​​իրական արժեքը անհայտ է, ապա մենք պետք է օգտագործենք ոչ թե հատակը, մեր շուրջը գտնվող պատերը և առաստաղը, ս. Այսպիսով, երեք սիգմայի կանոնը վերածվում է երեք հարկի, մեր շուրջ պատերի և առաստաղի կանոնի, ս .

Ստանդարտ շեղման արժեքի մեկնաբանություն

Ստանդարտ շեղման մեծ արժեքը ցույց է տալիս արժեքների մեծ տարածում ներկայացված հավաքածուում հավաքածուի միջին արժեքով. փոքր արժեքը, համապատասխանաբար, ցույց է տալիս, որ հավաքածուի արժեքները խմբավորված են միջին արժեքի շուրջ:

Օրինակ՝ մենք ունենք երեք թվային բազմություն՝ (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) և (6, 6, 8, 8): Բոլոր երեք հավաքածուները ունեն միջին արժեքներ, որոնք հավասար են 7-ի, և ստանդարտ շեղումները, համապատասխանաբար, հավասար են 7-ի, 5-ի և 1-ի: Վերջին հավաքածուն ունի փոքր ստանդարտ շեղում, քանի որ հավաքածուի արժեքները խմբավորված են միջին արժեքի շուրջ. առաջին հավաքածուն ունի ստանդարտ շեղման ամենամեծ արժեքը. հավաքածուի արժեքները մեծապես տարբերվում են միջին արժեքից:

Ընդհանուր իմաստով ստանդարտ շեղումը կարելի է համարել անորոշության չափանիշ: Օրինակ, ֆիզիկայում ստանդարտ շեղումը օգտագործվում է որոշ մեծության մի շարք հաջորդական չափումների սխալը որոշելու համար։ Այս արժեքը շատ կարևոր է ուսումնասիրվող երևույթի ճշմարտացիությունը որոշելու համար՝ համեմատած տեսության կողմից կանխատեսված արժեքի հետ. եթե չափումների միջին արժեքը մեծապես տարբերվում է տեսության կողմից կանխատեսված արժեքներից (մեծ ստանդարտ շեղում), այնուհետև պետք է վերաստուգվեն ստացված արժեքները կամ դրանց ստացման եղանակը։

Գործնական օգտագործում

Գործնականում ստանդարտ շեղումը թույլ է տալիս որոշել, թե հավաքածուի արժեքները որքանով կարող են տարբերվել միջին արժեքից:

Կլիմա

Ենթադրենք, որ կան երկու քաղաքներ՝ նույն միջին օրական առավելագույն ջերմաստիճանով, բայց մեկը գտնվում է ափին, իսկ մյուսը՝ ցամաքում։ Հայտնի է, որ ափին գտնվող քաղաքներն ունեն շատ տարբեր առավելագույն ցերեկային ջերմաստիճաններ, որոնք ավելի ցածր են, քան ցամաքում գտնվող քաղաքները: Հետևաբար, առափնյա քաղաքի համար առավելագույն օրական ջերմաստիճանի ստանդարտ շեղումը կլինի ավելի քիչ, քան երկրորդ քաղաքի համար, չնայած այն հանգամանքին, որ այս արժեքի միջին արժեքը նույնն է, ինչը գործնականում նշանակում է, որ հավանականությունը, որ օդի առավելագույն ջերմաստիճանը Տարվա ցանկացած օր ավելի բարձր կլինի, տարբերվում է միջին արժեքից, ավելի բարձր ցամաքում գտնվող քաղաքի համար:

Սպորտ

Ենթադրենք, կան մի քանի ֆուտբոլային թիմեր, որոնք գնահատվում են որոշ պարամետրերով, օրինակ՝ խփած և բաց թողած գոլերի քանակով, գոլային պահերով և այլն։ Ամենայն հավանականությամբ, այս խմբի լավագույն թիմը ավելի լավ արժեքներ կունենա։ ավելի շատ պարամետրերի վրա: Որքան փոքր է թիմի ստանդարտ շեղումը ներկայացված յուրաքանչյուր պարամետրի համար, այնքան ավելի կանխատեսելի է թիմի արդյունքը. նման թիմերը հավասարակշռված են: Մյուս կողմից, ստանդարտի մեծ շեղում ունեցող թիմը դժվար է կանխատեսել արդյունքը, որն իր հերթին բացատրվում է անհավասարակշռությամբ, օրինակ՝ ուժեղ պաշտպանությամբ, բայց թույլ գրոհով։

Թիմային պարամետրերի ստանդարտ շեղման օգտագործումը հնարավորություն է տալիս այս կամ այն ​​չափով կանխատեսել երկու թիմերի միջև խաղի արդյունքը, գնահատելով թիմերի ուժեղ և թույլ կողմերը, հետևաբար պայքարի ընտրված մեթոդները:

Տեխնիկական վերլուծություն

տես նաեւ

գրականություն

Այս հոդվածն առաջարկվում է ջնջման։ Պատճառների բացատրությունը և համապատասխան քննարկումը կարող եք գտնել էջում Վիքիպեդիա՝ Ջնջվելու է/17 դեկտեմբերի, 2012թ. Մինչ քննարկման գործընթացը ավարտված չէ, դուք կարող եք փորձել բարելավել հոդվածը, բայց դուք պետք է ձեռնպահ մնաք բովանդակությունը վերանվանելուց կամ ջնջելուց, լրացուցիչ մանրամասների համար տես հետագա գործողությունների ուղեցույցը: Մի հանեք ջնջման նշանը մինչև քննարկման ավարտը։ Ադմինիստրատորներ՝ հղումներն այստեղ, պատմություն (վերջին փոփոխված), տեղեկամատյաններ, ջնջում.

* Բորովիկովը, Վ.ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ. Համակարգչի վրա տվյալների վերլուծության արվեստը. Մասնագետների համար / Վ. Բորովիկով. - Սանկտ Պետերբուրգ. Պետրոս, 2003. - 688 էջ. - ISBN 5-272-00078-1.

Վիճակագրական ցուցանիշներ
Նկարագրական վիճակագրություն	Շարունակական տվյալները Կտրման գործոն Միջին (թվաբանական, երկրաչափական, ներդաշնակ) Միջին ռեժիմի տիրույթ Վարիացիա Աստիճան · Ստանդարտ շեղում· Տատանումների գործակից · Քվական (դեցիլ, տոկոս/տոկոս/ցենտիլ) Պահեր Ակնկալիք · Տարբերություն · Շեղում · Կուրտոզ Դիսկրետ տվյալները Հաճախականություն · Անսպասելիության աղյուսակ
Վիճակագրական ելքը և քննություն վարկածներ	Վիճակագրական եզրակացություն Վստահության միջակայք (հաճախակի հավանականություն) Վստահելիության միջակայք (Բայեսյան եզրակացություն) Վիճակագրական նշանակության մետա-վերլուծություն Պլանավորում փորձ Բնակչություն · Նմուշառման ձևավորում · Տարածքի նմուշառում · Կրկնօրինակում · Կլաստերավորում · Զգայունություն և առանձնահատկություն Նմուշի չափը Վիճակագրական հզորություն · Էֆեկտի չափում · Ստանդարտ սխալ Ընդհանուր վարկանիշ Բայեսյան լուծման գնահատում ·

Ցրվածությունյուրաքանչյուր հատկանիշի արժեքի քառակուսի շեղումների թվաբանական միջինն է ընդհանուր միջինից: Կախված աղբյուրի տվյալներից, շեղումը կարող է լինել չկշռված (պարզ) կամ կշռված:

Տարբերությունը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևերով.

· չխմբավորված տվյալների համար

· խմբավորված տվյալների համար

Կշռված շեղումը հաշվարկելու կարգը.

1. որոշել թվաբանական կշռված միջինը

2. որոշվում են տարբերակի շեղումները միջինից

3. յուրաքանչյուր տարբերակի շեղումը միջինից քառակուսի

4. Շեղումների քառակուսիները բազմապատկել կշիռներով (հաճախականություններ)

5. ամփոփել ստացված արտադրանքները

6. ստացված գումարը բաժանվում է կշեռքի գումարի վրա

Տարբերությունը որոշելու բանաձևը կարող է փոխակերպվել հետևյալ բանաձևի.

Պարզ

Տարբերությունը հաշվարկելու կարգը պարզ է.

1. որոշել միջին թվաբանականը

2. միջին թվաբանականի քառակուսի

3. քառակուսի յուրաքանչյուր տարբերակ շարքում

4. Գտիր քառակուսիների գումարի տարբերակը

5. քառակուսիների գումարը բաժանիր նրանց թվին, այսինքն. որոշել միջին քառակուսին

6. որոշիր հատկանիշի միջին քառակուսու և միջինի քառակուսու տարբերությունը

Նաև կշռված շեղումը որոշելու բանաձևը կարող է վերածվել հետևյալ բանաձևի.

դրանք. դիսպերսիան հավասար է հատկանիշի քառակուսի արժեքների միջինի և թվաբանական միջինի քառակուսու տարբերությանը: Փոխակերպված բանաձևն օգտագործելիս վերացվում է x-ից բնութագրիչի անհատական ​​արժեքների շեղումները հաշվարկելու լրացուցիչ ընթացակարգը և վերացվում է շեղումների կլորացման հետ կապված հաշվարկի սխալը:

Դիսպերսիան ունի մի շարք հատկություններ, որոնցից մի քանիսը հեշտացնում են հաշվարկը.

1) հաստատուն արժեքի շեղումը զրո է.

2) եթե ատրիբուտների արժեքների բոլոր տարբերակները կրճատվում են նույն թվով, ապա շեղումը չի նվազում.

3) եթե ատրիբուտների արժեքների բոլոր տարբերակները կրճատվում են նույն թվով անգամ (ապատիկ), ապա շեղումը կնվազի մեկ գործոնով.

Ստանդարտ շեղում Ս- ներկայացնում է տատանումների քառակուսի արմատը.

· չխմբավորված տվյալների համար.

· տատանումների շարքի համար.

Տատանումների միջակայքը, գծային միջինը և ստանդարտ շեղումը կոչվում են մեծություններ: Նրանք ունեն նույն չափման միավորները, ինչ անհատական ​​բնութագրիչ արժեքները:

Տարբերակումը և ստանդարտ շեղումը տատանումների առավել լայնորեն կիրառվող չափորոշիչներն են: Դա բացատրվում է նրանով, որ դրանք ներառված են հավանականությունների տեսության թեորեմների մեծ մասում, որը ծառայում է որպես մաթեմատիկական վիճակագրության հիմք։ Բացի այդ, շեղումը կարող է տարրալուծվել իր բաղադրիչ տարրերի մեջ, ինչը թույլ է տալիս գնահատել տարբեր գործոնների ազդեցությունը, որոնք որոշում են հատկանիշի տատանումները:

Ըստ շահույթի մարժայի խմբավորված բանկերի տատանումների ցուցանիշների հաշվարկը ներկայացված է աղյուսակում:

Շահույթի չափը, միլիոն ռուբլի:	Բանկերի թիվը	հաշվարկված ցուցանիշներ
3,7 - 4,6 (-)		4,15	8,30	-1,935	3,870	7,489
4,6 - 5,5		5,05	20,20	- 1,035	4,140	4,285
5,5 - 6,4		5,95	35,70	- 0,135	0,810	0,109
6,4 - 7,3		6,85	34,25	+0,765	3,825	2,926
7,3 - 8,2		7,75	23,25	+1,665	4,995	8,317
Ընդամենը:			121,70		17,640	23,126

Միջին գծային և ստանդարտ շեղումը ցույց է տալիս, թե որքանով է բնութագրիչի արժեքը միջինում տատանվում հետազոտվող միավորների և բնակչության միջև: Այսպիսով, այս դեպքում շահույթի միջին տատանումն է. ըստ միջին գծային շեղման, 0,882 միլիոն ռուբլի; ստանդարտ շեղմամբ `1,075 միլիոն ռուբլի: Ստանդարտ շեղումը միշտ ավելի մեծ է, քան միջին գծային շեղումը: Եթե ​​հատկանիշի բաշխումը մոտ է նորմալին, ապա S-ի և d-ի միջև կա հարաբերություն՝ S=1.25d, կամ d=0.8S։ Ստանդարտ շեղումը ցույց է տալիս, թե ինչպես է բնակչության միավորների հիմնական մասը տեղակայված թվաբանական միջինի համեմատ: Անկախ բաշխման ձևից, հատկանիշի 75 արժեքները ընկնում են x 2S միջակայքում, և բոլոր արժեքներից առնվազն 89-ը ընկնում են x 3S միջակայքում (Պ.Լ. Չեբիշևի թեորեմ):

միջին արժեքը- սա վիճակագրական բնակչության ընդհանուր ցուցանիշ է, որը վերացնում է վիճակագրական մեծությունների արժեքների անհատական ​​տարբերությունները, ինչը թույլ է տալիս համեմատել տարբեր պոպուլյացիաներ միմյանց հետ:

Գոյություն ունի 2 դասմիջին արժեքներ և .

Կառուցվածքային միջինները ներառում են նորաձեւությունԵվ միջին, բայց առավել հաճախ օգտագործվում է հզորության միջին ցուցանիշներըտարբեր տեսակներ.

Հզորության միջին ցուցանիշները

Հզորության միջին ցուցանիշները կարող են լինել պարզԵվ կշռված.

Պարզ միջինհաշվարկվում է, եթե կան երկու կամ ավելի չխմբավորվածվիճակագրական մեծություններ, որոնք դասավորված են պատահական հաջորդականությամբ՝ համաձայն հետևյալ ընդհանուր բանաձևի.

Միջին կշռվածհաշվարկված է խմբավորվածվիճակագրական արժեքներ՝ օգտագործելով հետևյալ ընդհանուր բանաձևը.

Որտեղ X-ը անհատական ​​վիճակագրական արժեքների արժեքներն են կամ խմբավորման միջակայքերի միջինը.
m-ը ցուցիչ է, որի արժեքը որոշում է հետևյալը հզորության միջին տեսակները:
ժամը m = -1;
ժամը m = 0;
երբ m = 1;
ժամը m = 2;
m = 3-ում:

Օգտագործելով m տարբեր ցուցիչների պարզ և կշռված միջինների ընդհանուր բանաձևերը, մենք ստանում ենք յուրաքանչյուր տեսակի հատուկ բանաձևեր, որոնք մանրամասն կքննարկվեն ստորև:

Թվաբանական միջին

Թվաբանական միջին- սա ամենից հաճախ օգտագործվող միջին արժեքն է, որը ստացվում է m=1 ընդհանուր բանաձևի մեջ փոխարինելով: Թվաբանական միջին պարզունի հետևյալ ձևը.

Որտեղ X-ն այն քանակությունների արժեքներն են, որոնց համար միջին արժեքը պետք է հաշվարկվի. N-ը X արժեքների ընդհանուր թիվն է (ուսումնասիրվող բնակչության միավորների թիվը):

Օրինակ՝ ուսանողը հանձնել է 4 քննություն և ստացել հետևյալ գնահատականները՝ 3, 4, 4 և 5։ Եկեք հաշվարկենք միջին միավորը պարզ թվաբանական միջին բանաձևով՝ (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.

Թվաբանական միջին կշռվածունի հետևյալ ձևը.

Որտեղ f-ը նույն X արժեքով մեծությունների թիվն է (հաճախականություն):

Օրինակ՝ աշակերտը հանձնել է 4 քննություն և ստացել հետևյալ գնահատականները՝ 3, 4, 4 և 5։ Եկեք հաշվարկենք միջին միավորը կշռված միջին թվաբանական բանաձևով՝ (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4:

Եթե ​​X արժեքները նշված են որպես միջակայքներ, ապա հաշվարկների համար օգտագործվում են X միջակայքերի միջնակետերը, որոնք սահմանվում են որպես միջակայքի վերին և ստորին սահմանների կես գումար: Իսկ եթե X միջակայքը չունի ստորին կամ վերին սահման (բաց ինտերվալ), ապա այն գտնելու համար օգտագործեք հարակից X միջակայքի միջակայքը (վերին և ստորին սահմանների տարբերությունը):

Օրինակ՝ ձեռնարկությունն ունի 10 աշխատող՝ մինչև 3 տարվա փորձով, 20-ը՝ 3-ից 5 տարվա փորձով, 5 աշխատող՝ ավելի քան 5 տարվա փորձով։ Այնուհետև մենք հաշվարկում ենք աշխատողների միջին ստաժը՝ օգտագործելով կշռված թվաբանական միջին բանաձևը՝ որպես X վերցնելով ծառայության երկարության միջակայքի միջին կետը (2, 4 և 6 տարի).
(2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3.71 տ.

Ամենից հաճախ օգտագործվում է թվաբանական միջինը, սակայն լինում են դեպքեր, երբ անհրաժեշտ է օգտագործել այլ տեսակի միջիններ։ Հետագայում դիտարկենք նման դեպքերը։

Հարմոնիկ միջին

Հարմոնիկ միջինօգտագործվում է, երբ աղբյուրի տվյալները չեն պարունակում f հաճախականություններ առանձին X արժեքների համար, այլ ներկայացվում են որպես դրանց արտադրյալ Xf: Նշանակելով Xf=w, մենք արտահայտում ենք f=w/X և, փոխարինելով այս նշումները թվաբանական կշռված միջինի բանաձևով, ստանում ենք ներդաշնակ կշռված միջինի բանաձևը.

Այսպիսով, կշռված ներդաշնակ միջինն օգտագործվում է, երբ f հաճախականություններն անհայտ են, իսկ w=Xf՝ հայտնի։ Այն դեպքերում, երբ բոլոր w = 1, այսինքն, X-ի առանձին արժեքները տեղի են ունենում մեկ անգամ, կիրառվում է միջին ներդաշնակ պարզ բանաձևը.

Օրինակ՝ մեքենան A կետից B կետ էր գնում 90 կմ/ժ արագությամբ, իսկ ետ՝ 110 կմ/ժ արագությամբ։ Միջին արագությունը որոշելու համար մենք կիրառում ենք միջին ներդաշնակության պարզ բանաձևը, քանի որ օրինակում տրված է w 1 =w 2 հեռավորությունը (Ա կետից մինչև B կետ հեռավորությունը նույնն է, ինչ B-ից մինչև A), որը հավասար է արագության (X) և ժամանակի (f) արտադրյալին։ Միջին արագությունը = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 կմ/ժ:

Երկրաչափական միջին

Երկրաչափական միջինօգտագործվում է միջին հարաբերական փոփոխությունները որոշելու համար, ինչպես քննարկվել է դինամիկ շարքի թեմայում: Երկրաչափական միջինը տալիս է ամենաճշգրիտ միջինացման արդյունքը, եթե խնդիրն է գտնել X-ի արժեք, որը հավասար հեռավորության վրա կլինի X-ի և՛ առավելագույն, և՛ նվազագույն արժեքներից:

Օրինակ՝ 2005-2008թթ գնաճի ցուցանիշըՌուսաստանում եղել է. 2005 թվականին՝ 1,109; 2006 թվականին՝ 1090; 2007 թվականին՝ 1119; 2008 թվականին՝ 1133. Քանի որ գնաճի ինդեքսը հարաբերական փոփոխություն է (դինամիկ ինդեքս), միջին արժեքը պետք է հաշվարկվի երկրաչափական միջինի միջոցով. մինչև 2008 թվականը տարեկան գներն աճել են միջինը 11,26%-ով։ Թվաբանական միջինի օգտագործմամբ սխալ հաշվարկը սխալ արդյունք կտա 11,28%:

Միջին քառակուսի

Միջին քառակուսիօգտագործվում է այն դեպքերում, երբ X-ի սկզբնական արժեքները կարող են լինել և՛ դրական, և՛ բացասական, օրինակ՝ միջին շեղումները հաշվարկելիս:

Քառակուսային միջինի հիմնական կիրառումը X արժեքների տատանումների չափումն է, որը կքննարկվի:

Միջին խորանարդ

Միջին խորանարդօգտագործվում է չափազանց հազվադեպ, օրինակ՝ ՄԱԿ-ի կողմից առաջարկված և հաշվարկված զարգացող երկրների (TIN-1) և զարգացած երկրների համար (TIN-2) աղքատության ցուցանիշները հաշվարկելիս:

Կառուցվածքային միջիններ

Առավել հաճախ օգտագործվողներին կառուցվածքային միջիններառել և.

Վիճակագրական ռեժիմ

Վիճակագրական ռեժիմ X-ի ամենահաճախ կրկնվող արժեքն է վիճակագրական բնակչության մեջ:

Եթե ​​X տրված է դիսկրետ կերպով, ապա ռեժիմը որոշվում է առանց հաշվարկի որպես ամենաբարձր հաճախականությամբ հատկանիշի արժեք։ Վիճակագրական բնակչության մեջ կա 2 կամ ավելի ռեժիմ, այնուհետև այն համարվում է երկմոդալ(եթե կա երկու ռեժիմ) կամ մուլտիմոդալ(եթե կան ավելի քան երկու ռեժիմներ), և դա ցույց է տալիս բնակչության տարասեռությունը:

Օրինակ՝ ընկերությունում աշխատում է 16 մարդ, որոնցից 4-ն ունեն 1 տարվա փորձ, 3 հոգին՝ 2 տարվա, 5-ը՝ 3 տարվա, 4 հոգին՝ 4 տարվա փորձ։ Այսպիսով, մոդալային փորձ Mo = 3 տարի, քանի որ այս արժեքի հաճախականությունը առավելագույնն է (f = 5):

Եթե ​​X տրված է հավասար ընդմիջումներով, ապա մոդալ ինտերվալը նախ սահմանվում է որպես ամենաբարձր հաճախականությամբ ինտերվալ f. Այս միջակայքում ռեժիմի պայմանական արժեքը հայտնաբերվում է բանաձևով.

Որտեղ Մոն նորաձևություն է;
X NMo - մոդալ միջակայքի ստորին սահման;
h Mo-ը մոդալ միջակայքի միջակայքն է (դրա վերին և ստորին սահմանների տարբերությունը);
f Mo – մոդալ միջակայքի հաճախականություն;
f Mo-1 – մոդալին նախորդող միջակայքի հաճախականությունը.
f Mo+1 – մոդալին հաջորդող միջակայքի հաճախականությունը:

Օրինակ՝ ձեռնարկությունն ունի 10 աշխատող՝ մինչև 3 տարվա փորձով, 20-ը՝ 3-ից 5 տարվա փորձով, 5 աշխատող՝ ավելի քան 5 տարվա փորձով։ Հաշվարկենք մոդալ աշխատանքային փորձը մոդալային միջակայքում 3-ից 5 տարի՝ Mo = 3 + 2*(20-10)/(2*20-10-5) = 3,8 (տարի):

Եթե ​​h միջակայքերի տիրույթը տարբեր է, ապա f հաճախականությունների փոխարեն անհրաժեշտ է օգտագործել ինտերվալային խտություններ՝ հաշվարկված f հաճախականությունները բաժանելով h միջակայքի միջակայքին։

Վիճակագրական միջին

Վիճակագրական միջին– սա X մեծության արժեքն է, որը աճող կամ նվազող կարգով դասավորված վիճակագրական բնակչությունը բաժանում է 2 հավասար մասերի: Արդյունքում մի կեսը միջինից ավելի մեծ արժեք ունի, իսկ մյուս կեսը՝ միջինից փոքր արժեք:

Եթե ​​X տրված է դիսկրետ կերպով, այնուհետև միջինը որոշելու համար բոլոր արժեքները համարակալվում են 0-ից մինչև N աճման կարգով, այնուհետև N զույգ թվի մեդիանը կլինի X 0,5N և (0,5N+1) թվերի միջակայքում, իսկ N կենտ թվի համար այն կհամապատասխանի 0,5 թվով X-ի արժեքին (N+1) .

Օրինակ, կան տվյալներ 10 հոգանոց խմբում հեռակա ուսանողների տարիքի մասին՝ X՝ 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 տարեկան: Այս տվյալները արդեն դասավորված են աճման կարգով, և դրանց թիվը N=10 զույգ է, ուստի միջինը կլինի X-ի միջև՝ 0,5*10=5 և (0,5*10+1)=6 թվերով, որոնք համապատասխանում են արժեքներին։ X 5 = 21 և X 6 = 23, ապա միջինը՝ Me = (21+23)/2 = 22 (տարի):

Եթե ​​X-ը տրված է ձևով հավասար ընդմիջումներով, ապա նախ որոշվում է մեդիանային միջակայքը (միջակայքը, որով ավարտվում է f հաճախականությունների կեսը և սկսվում է մյուս կեսը), որում մեդիանայի պայմանական արժեքը գտնում ենք բանաձևով.

Որտեղ ես միջինն եմ.
X НМе – միջին միջակայքի ստորին սահման;
h Ме – միջին միջակայքի միջակայքը (դրա վերին և ստորին սահմանների տարբերությունը);
f Ме – միջին միջակայքի հաճախականությունը;
f Ме-1 – միջինին նախորդող միջակայքերի հաճախականությունների գումարը:

Նախկինում քննարկված օրինակում մոդալ ստաժը հաշվարկելիս (ձեռնարկությունն ունի 10 աշխատող՝ մինչև 3 տարվա փորձով, 20-ը՝ 3-ից 5 տարվա, 5 աշխատող՝ 5 տարուց ավելի), մենք հաշվարկում ենք միջինը. ծառայության երկարությունը. Աշխատողների ընդհանուր թվի կեսը (10+20+5)/2 = 17,5 է և գտնվում է 3-ից 5 տարի միջակայքում, իսկ առաջին մինչև 3 տարին ընդմիջումից ընդամենը 10 աշխատող է, իսկ առաջին երկուսում. - (10+20) =30, որը 17,5-ից ավելի է, նշանակում է միջակայքը 3-ից 5 տարի է: Դրա ներսում մենք որոշում ենք միջինի պայմանական արժեքը՝ Me = 3+2*(0.5*30-10)/20 = 3.5 (տարի):

Ինչպես ռեժիմի դեպքում, մեդիանը որոշելիս, եթե h ինտերվալների միջակայքը տարբեր է, ապա f հաճախականությունների փոխարեն անհրաժեշտ է օգտագործել ինտերվալային խտություններ՝ հաշվարկված f հաճախականությունները h միջակայքի միջակայքի վրա բաժանելով։

Տատանումների ցուցանիշներ

Վարիացիա X արժեքների արժեքների տարբերությունն է վիճակագրական բնակչության առանձին միավորների համար: Տատանումների ուժգնությունը ուսումնասիրելու համար հաշվարկվում են հետևյալը տատանումների ցուցանիշներ: , , , , .

Տատանումների շրջանակը

Տատանումների շրջանակըուսումնասիրվող վիճակագրական բնակչության մեջ առկա X-ի առավելագույն և նվազագույն արժեքների տարբերությունն է.

H-ի թերությունն այն է, որ այն ցույց է տալիս միայն X արժեքների առավելագույն տարբերությունը և չի կարող չափել տատանումների ուժը ամբողջ բնակչության մեջ:

Միջին գծային շեղում

Միջին գծային շեղում X արժեքների միջին թվաբանականից շեղումների միջին մոդուլն է: Այն կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով միջին թվաբանական բանաձևը պարզ- ստանում ենք :

Օրինակ՝ ուսանողը հանձնել է 4 քննություն և ստացել հետևյալ գնահատականները՝ 3, 4, 4 և 5։ = 4։ Հաշվենք պարզ միջին գծային շեղումը. L = (|3-4|+|4-4|+|4): -4|+|5-4|)/4 = 0,5.

Եթե ​​X աղբյուրի տվյալները խմբավորված են (կան հաճախականություններ f), ապա միջին գծային շեղումը հաշվարկվում է միջին թվաբանական բանաձևով. կշռված- ստանում ենք :

Վերադառնանք ուսանողի օրինակին, ով հանձնել է 4 քննություն և ստացել հետևյալ գնահատականները՝ 3, 4, 4 և 5. = 4 և = 0,5։ Հաշվենք միջին կշռված գծային շեղումը` L = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5:

Տատանումների գծային գործակից

Տատանումների գծային գործակիցմիջին գծային շեղման հարաբերակցությունն է միջին թվաբանականին.

Օգտագործելով տատանումների գծային գործակիցը, դուք կարող եք համեմատել տարբեր պոպուլյացիաների տատանումները, քանի որ, ի տարբերություն միջին գծային շեղման, դրա արժեքը կախված չէ X չափման միավորներից:

Քննարկվող օրինակում ուսանողի մասին, ով հանձնել է 4 քննություն և ստացել է հետևյալ գնահատականները՝ 3, 4, 4 և 5, տատանումների գծային գործակիցը կլինի 0,5/4 = 0,125 կամ 12,5%։

Ցրվածություն

Ցրվածություն X արժեքների միջին թվաբանականից շեղումների միջին քառակուսին է: Դիսպերսիան կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով միջին թվաբանական բանաձևը պարզ- ստանում ենք պարզ շեղում:

Մեզ արդեն ծանոթ օրինակում ուսանողի մասին, ով հանձնել է 4 քննություն և ստացել է գնահատականներ՝ 3, 4, 4 և 5, = 4: Այնուհետև տարբերությունը պարզ է D = ((3-4) 2 +(4-4) 2: +(4- 4) 2 +(5-4) 2)/4 = 0,5:

Եթե ​​սկզբնական X տվյալները խմբավորված են (կան հաճախականություններ f), ապա շեղումը հաշվարկվում է միջին թվաբանական բանաձևով կշռված- ստանում ենք շեղումը կշռված:

Քննարկվող օրինակում ուսանողի մասին, ով հանձնել է 4 քննություն և ստացել է հետևյալ գնահատականները՝ 3, 4, 4 և 5, մենք հաշվարկում ենք կշռված շեղումը. D = ((3-4) 2 *1+(4-4) 2: *2+(5 -4) 2 *1)/4 = 0,5:

Եթե ​​փոխակերպեք շեղումների բանաձևը (բացեք փակագծերը համարիչում, տերմինը բաժանեք տերմինի հայտարարի վրա և տվեք նմանատիպերը), ապա կարող եք ստանալ մեկ այլ բանաձև՝ այն հաշվարկելու համար որպես միջին քառակուսիների և միջին քառակուսիների տարբերություն.

Նույնիսկ ավելի հեշտ է գտնել ստանդարտ շեղում, եթե շեղումը նախապես հաշվարկված է որպես դրա քառակուսի արմատ.

Ուսանողի մասին օրինակում, որում վերևում մենք գտնում ենք ստանդարտ շեղումը որպես դրա քառակուսի արմատ. .

Տատանումների քառակուսի գործակից

Տատանումների քառակուսի գործակիցտատանումների ամենահայտնի հարաբերական չափումն է.

Չափանիշի արժեքը V տատանումների քառակուսի գործակիցը կազմում է 0,333 կամ 33,3%, այսինքն, եթե V-ը փոքր է կամ հավասար է 0,333-ի, ապա տատանումը համարվում է թույլ, իսկ եթե այն մեծ է 0,333-ից՝ ուժեղ։ Ուժեղ տատանումների դեպքում դիտարկվում է ուսումնասիրված վիճակագրական բնակչությունը տարասեռ, իսկ միջին արժեքն է անտիպիկև այն չի կարող օգտագործվել որպես այս բնակչության ընդհանուր ցուցանիշ։

Ուսանողի մասին օրինակում, որում վերևում գտնում ենք V = 0,707/4 = 0,177 տատանումների քառակուսի գործակիցը, որը փոքր է 0,333 չափորոշիչի արժեքից, ինչը նշանակում է, որ տատանումը թույլ է և հավասար է 17,7%-ի:

Տարբերության քառակուսի արմատը կոչվում է միջինից ստանդարտ շեղում, որը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Ստանդարտ շեղման բանաձևի տարրական հանրահաշվական փոխակերպումը հանգեցնում է հետևյալ ձևի.

Այս բանաձեւը հաճախ պարզվում է, որ ավելի հարմար է հաշվարկային պրակտիկայում։

Ստանդարտ շեղումը, ճիշտ այնպես, ինչպես միջին գծային շեղումը, ցույց է տալիս, թե միջինում ինչքան են շեղվում բնութագրիչի հատուկ արժեքները իրենց միջին արժեքից: Ստանդարտ շեղումը միշտ ավելի մեծ է, քան միջին գծային շեղումը: Նրանց միջև կա հետևյալ հարաբերությունը.

Իմանալով այս հարաբերակցությունը, դուք կարող եք օգտագործել հայտնի ցուցանիշները որոշելու անհայտը, օրինակ, բայց (Ի հաշվարկել ա և հակառակը: Ստանդարտ շեղումը չափում է բնութագրիչի փոփոխականության բացարձակ չափը և արտահայտվում է նույն չափման միավորներով, ինչ բնութագրիչի արժեքները (ռուբլի, տոննա, տարի և այլն): Դա տատանումների բացարձակ չափանիշ է։

Համար այլընտրանքային նշաններ, օրինակ՝ բարձրագույն կրթության առկայությունը կամ բացակայությունը, ապահովագրությունը, դիսպերսիայի և ստանդարտ շեղման բանաձևերը հետևյալն են.

Եկեք ցույց տանք ստանդարտ շեղման հաշվարկը ըստ տարիքի բուհի ֆակուլտետներից մեկի ուսանողների բաշխվածությունը բնութագրող դիսկրետ շարքի տվյալների (Աղյուսակ 6.2):

Աղյուսակ 6.2.

Օժանդակ հաշվարկների արդյունքները բերված են աղյուսակի 2-5-րդ սյունակներում: 6.2.

Ուսանողի միջին տարիքը՝ տարիները, որոշվում է միջին թվաբանական բանաձևով (սյունակ 2).

Սովորողի անհատական ​​տարիքի քառակուսի շեղումները միջինից բերված են 3-4-րդ սյունակներում, իսկ քառակուսի շեղումների և համապատասխան հաճախականությունների արտադրյալները՝ 5-րդ սյունակում:

Մենք գտնում ենք ուսանողների տարիքի, տարիների տարբերությունը՝ օգտագործելով բանաձևը (6.2).

Այնուհետեւ o = l / 3.43 1.85 *oda, այսինքն. Ուսանողի տարիքի յուրաքանչյուր կոնկրետ արժեք միջինից շեղվում է 1,85 տարով:

Տատանումների գործակիցը

Իր բացարձակ արժեքով ստանդարտ շեղումը կախված է ոչ միայն բնութագրիչի տատանումների աստիճանից, այլև տարբերակների բացարձակ մակարդակներից և միջինից: Հետևաբար, անհնար է ուղղակիորեն համեմատել տատանումների շարքերի ստանդարտ շեղումները տարբեր միջին մակարդակների հետ: Նման համեմատություն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է գտնել միջին շեղման (գծային կամ քառակուսի) մասնաբաժինը թվաբանական միջինում՝ արտահայտված որպես տոկոս, այսինքն. հաշվարկել տատանումների հարաբերական չափումներ.

Տատանումների գծային գործակից հաշվարկված բանաձևով

Տատանումների գործակիցը որոշվում է հետևյալ բանաձևով.

Տատանումների գործակիցներում վերացվում է ոչ միայն ուսումնասիրվող հատկանիշի չափման տարբեր միավորների հետ կապված անհամեմատելիությունը, այլև թվաբանական միջոցների արժեքի տարբերությունների պատճառով առաջացող անհամեմատելիությունը: Բացի այդ, տատանումների ցուցանիշները բնութագրում են բնակչության միատարրությունը։ Բնակչությունը համարվում է միատարր, եթե տատանումների գործակիցը չի գերազանցում 33%-ը։

Ըստ աղյուսակի. 6.2 և վերևում ստացված հաշվարկի արդյունքներով մենք որոշում ենք տատանումների գործակիցը, %, ըստ բանաձևի (6.3).

Եթե ​​տատանումների գործակիցը գերազանցում է 33%-ը, ապա դա վկայում է ուսումնասիրվող բնակչության տարասեռության մասին: Մեր դեպքում ստացված արժեքը ցույց է տալիս, որ աշակերտների պոպուլյացիան ըստ տարիքի միատարր է կազմով։ Այսպիսով, տատանումների ընդհանրացման ցուցիչների կարևոր գործառույթը միջին ցուցանիշների հուսալիության գնահատումն է: Որքան քիչ c1, a2 և V, որքան ավելի համասեռ է ստացված երևույթների հավաքածուն և այնքան հուսալի է ստացված միջինը: Համաձայն մաթեմատիկական վիճակագրության կողմից դիտարկվող «երեք սիգմայի կանոնի»՝ նորմալ բաշխված կամ դրանց մոտ շարքերում թվաբանական միջինից ±3-րդից չգերազանցող շեղումներ տեղի են ունենում 1000-ից 997 դեպքերում: Այսպիսով, իմանալով. X և ա, դուք կարող եք ընդհանուր նախնական պատկերացում կազմել տատանումների շարքի մասին: Եթե, օրինակ, ընկերությունում աշխատողի միջին աշխատավարձը 25000 ռուբլի է, իսկ a-ն հավասար է 100 ռուբլու, ապա վստահությանը մոտ հավանականությամբ կարելի է ասել, որ ընկերության աշխատակիցների աշխատավարձը տատանվում է միջակայքում (25000): ± ± 3 x 100 ) այսինքն. 24,700-ից մինչև 25,300 ռուբլի: